' \1J Voir aussi plus loin,§ 3.4 p. 185.
On étudie ici l'intégrabilité de f sur
l'intervalle ]a ; b] ouvert en a. Dans la
Proposition 1, l'étude se fai sait sur
[a; b[,ouvertenb.
Casoùb E IR etoùfadmetunelimite
finie en b.
3.2 • Fonctions intégrables à valeurs réelles ou complexes
Ceci montre que 1f1 n'est pas intégrable sur [1 ; +oo[, et donc, par définition,f n'est pas intégrable sur [I; +oo[.
·A l'aide d'une intégration par parties, on a, pour tout X de [1 ; +oo[ :
1
X
[-cos X ] X 1 X cos X cos X 1 X cos X
F(X) =
f(x)dx = - - -
- 2 - dx = - - - +cos l -
- 2 - dx.
1
X
1
1
X
X
1
X
cos X
D'une part, - - - +cos 1-------+ cos l.
X
X-->+oo
cosx
D'autre part, x 1---+ - 2
- est intégrable sur [l ; +oo[ (par le théorème de domination et
X
1
COSX1
1
l'exemple de Riemann, 7
~ x
2
), donc, d'après la Proposition précédente,
l
x cosx
1 cosx
- 2
- dx -------+
- 2
- dx.
1
X
X -->+oo [ l;+oo[ X
Il en résulte que F admet une limite finie en +oo :
1
cosx
F(X) -------+ cos 1 -
- 2
- dx.
X -->+oo
11 ;+oo[ X
Soient (a,b) E (ffi. U {-oo}) x ffi. tel que a< b, f E CM(]a; b], JK) . Notons
F : ]a ; b] ---+ lK l'application définie par :
VX E]a; b], F(X) = fxb f.
Si f est intégrable sur ]a; b], alors F admet une limite finie en a, et :
1
l
b
f = lim
f.
]a ;b]
x~a X
L'intégrale 1 . f est alors aussi notée lb f (ou : lb f (x) dx ).
l
Ja;b]
a
a
l
Preuve
Même méthode que pour le Corollaire de la Proposition l de 3.l.3 p. 158.
•
Soient (a,b) E ffi. 2 , tel que a < b,f : [a ; b[ ---+ lK continue et admettant une limite
finie l en b.
Alors f est intégrable sur [a ; b[ et, en notant f : [a; b] ---+ lK le prolongement de f
' [ b]
· · ' d ' fi ·
/~( ) { f (x)
a a;
par contmmte, e im par
x =
l
si x E [a; b[ 1
six= b
' on a:
1 l
b ~
f =
f
[a;bf
a
Preuve
•On a, pour tout segment J inclus dans [a ; b[ :
i lfl = i 111~ 1b 111.
1 Ceci montre que lfl est intégrable sur [a ; b[, donc f aussi.
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