Chapitre 1 • Espaces vectoriels normés
Dans ce chapitre 1, OC désigne IR ou C .
Une étude élémentaire a été faite dans Analyse MPSI (ch. 3, 4, 11).
On abrège espace vectoriel en ev.
1.1 Vocabulaire de la topologie
d'un espace vectoriel normé
(i) : positive-homogénéité
(ii) : non-dégénérescence
(iiil :inégalité triangulaire.
On rajoute quelquefois:
1.1.1
(iv) V x E E ,N(x ) ~ 0, ce qui est
en fait inutile (cf.ci-dessous).
Norme, distance associée
1) Définition d'une norme, exemples
On appelle norme sur un JK-ev E toute application N : E ----+ IR telle que:
(i) VÀ E JK, V x E E, N(ÀX) = IÀIN(x)
(ii) Vx E E, (N(x) = 0 ===} x = 0)
(iii) V (x ,y) E E 2 , N(x +y) ~ N(x) + N(y).
On appelle espace vectoriel normé (en abrégé evn) tout couple (E,N) où E est un
JK-ev et N une norme sur E.
Remarque: Soit (E, N ) un OC-evn.
,.,
On noteO le réel nul (ou le complexe nul)
\J.--. et aussi 0 le vecteur nul.
1) En appliquant (i) à À= O,on déduit N(O) =O.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Ces exemples sont fondamentaux.
4
2) Pour tout x de E, en appliquant (iii) à x on déduit alors:
0 = N(O) = N(x + (- x )) ~ N(x) + N (-x) = N(x) + 1- l lN(x) = 2N(x) ,
et donc N(x ) ~ O.
La condition N(x) ~ 0 serait donc superflue dans la définition.
Une norme sur E est souvent notée li.li : E----+ IR , ou encore 11.llE·
x~ llx ll
S'il n'y a pas de risque d'ambigüité, on note Eau lieu de (E,N).
Exemples:
1) Les trois normes usuelles sur ocn (dites aussi normes standard sur ocn).
Soit n E N*. Considérons, pour tout X = (x1 , ... ,Xn) de ocn, les réels l lx l l 1, l lx l b l lx l loo
définis par :
n
llxl l1 = ~)xkl,
k= I
llx lloo = Max lxk l·
l ~k ~ n
Vérifions que les applications 11 .1 11, 11. 1 li, 11 . l loo : OC
11
____.,. IR ains i définies sont des
normes. Les calculs suivants sont valables pour tous x = (x 1 , ... ,xn) ,y = (y 1 , . .. ,y,i)
de ocn et À de oc.
n
n
a) (i)
ll >..x ll 1 = L l>..xk l = l>..I L lxkl = l>.. I llxl l1
k= I
k =I
n
(ii) llxl l1=0 ~ L lxkl = 0 ~ (Vk E {l , ... ,n}, lxkl = 0)
k= I
~ (Vk E {!, ... ,n}, Xk = 0) ~X= Ü
Dans ce chapitre 1, OC désigne IR ou C .
Une étude élémentaire a été faite dans Analyse MPSI (ch. 3, 4, 11).
On abrège espace vectoriel en ev.
1.1 Vocabulaire de la topologie
d'un espace vectoriel normé
(i) : positive-homogénéité
(ii) : non-dégénérescence
(iiil :inégalité triangulaire.
On rajoute quelquefois:
1.1.1
(iv) V x E E ,N(x ) ~ 0, ce qui est
en fait inutile (cf.ci-dessous).
Norme, distance associée
1) Définition d'une norme, exemples
On appelle norme sur un JK-ev E toute application N : E ----+ IR telle que:
(i) VÀ E JK, V x E E, N(ÀX) = IÀIN(x)
(ii) Vx E E, (N(x) = 0 ===} x = 0)
(iii) V (x ,y) E E 2 , N(x +y) ~ N(x) + N(y).
On appelle espace vectoriel normé (en abrégé evn) tout couple (E,N) où E est un
JK-ev et N une norme sur E.
Remarque: Soit (E, N ) un OC-evn.
,.,
On noteO le réel nul (ou le complexe nul)
\J.--. et aussi 0 le vecteur nul.
1) En appliquant (i) à À= O,on déduit N(O) =O.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.._,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Ces exemples sont fondamentaux.
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2) Pour tout x de E, en appliquant (iii) à x on déduit alors:
0 = N(O) = N(x + (- x )) ~ N(x) + N (-x) = N(x) + 1- l lN(x) = 2N(x) ,
et donc N(x ) ~ O.
La condition N(x) ~ 0 serait donc superflue dans la définition.
Une norme sur E est souvent notée li.li : E----+ IR , ou encore 11.llE·
x~ llx ll
S'il n'y a pas de risque d'ambigüité, on note Eau lieu de (E,N).
Exemples:
1) Les trois normes usuelles sur ocn (dites aussi normes standard sur ocn).
Soit n E N*. Considérons, pour tout X = (x1 , ... ,Xn) de ocn, les réels l lx l l 1, l lx l b l lx l loo
définis par :
n
llxl l1 = ~)xkl,
k= I
llx lloo = Max lxk l·
l ~k ~ n
Vérifions que les applications 11 .1 11, 11. 1 li, 11 . l loo : OC
11
____.,. IR ains i définies sont des
normes. Les calculs suivants sont valables pour tous x = (x 1 , ... ,xn) ,y = (y 1 , . .. ,y,i)
de ocn et À de oc.
n
n
a) (i)
ll >..x ll 1 = L l>..xk l = l>..I L lxkl = l>.. I llxl l1
k= I
k =I
n
(ii) llxl l1=0 ~ L lxkl = 0 ~ (Vk E {l , ... ,n}, lxkl = 0)
k= I
~ (Vk E {!, ... ,n}, Xk = 0) ~X= Ü