Plan
1.1 Vocabulaire
de la topologie
d'un espace
vectoriel normé
4
Exercices 10, 13,25,28,
30,38
1.2 Limites, continuité 39
Exercices
48,51,57
1.3 Compacité
58
Exercices
62,66
1.4 Complétude
66
Exercices
67, 71
1.5 Connexité par arcs 72
Exercices
75
1.6 Espaces
préhilbertiens
76
Exercices 82, 88, 95, 98
Problèmes
98
CHAPITRE 1
Jnt.,.oduction
Les notions d'analyse relatives aux suites et fonctions réelles ou complexes
qui ont servi de base à l'enseignement de première année vont être généralisées au cas d'espaces vectoriels, souvent de dimension finie, munis de
normes. Une première approche a déjà été faite lors de l'étude élémentaire
des fonctions de deux variables réelles, Analyse MPSI, ch. 11.
Une attention particulière est portée aux espaces préhilbertiens, c'est-à-dire
les espaces vectoriels réels ou complexes munis d' un produit scalaire (et
non nécessairement de dimension finie).
Pt4él4equis
• Les nombres réels (Analyse MPSI, ch. 1)
• Les nombres complexes (Analyse MPSI, ch. 2)
• Suites numériques (Analyse MPSI, ch. 3)
• Espaces vectoriels (Algèbre MPSI, ch. 6)
• Espaces vectoriels (Algèbre MPSI, ch. 6)
• Applications linéaires (Algèbre MPSI, ch. 7).
Objectifs
• Généralisation des notions d 'analyse relatives aux réels et aux complexes (convergence de suites, limites, continuité) vues en première
année, au cas des espaces vectoriels normés
• Acquisition du vocabulaire topologique : voisinages, parties ouvertes,
parties fermées, intérieur, adhérence, frontière, parties denses, ...
• Mise en évidence d'applications remarquables et fréquemment rencontrée : applications continues, uniformément continues, lipschitziennes,
homéomorphismes
• Étude spécifique des applications linéaires continues
• Définition et étude de parties remarquables jouant un rôle essentiel :
parties compactes, complètes, connexes par arcs
• Bilan sur les espaces préhilbertiens réels ou complexes.
3
1.1 Vocabulaire
de la topologie
d'un espace
vectoriel normé
4
Exercices 10, 13,25,28,
30,38
1.2 Limites, continuité 39
Exercices
48,51,57
1.3 Compacité
58
Exercices
62,66
1.4 Complétude
66
Exercices
67, 71
1.5 Connexité par arcs 72
Exercices
75
1.6 Espaces
préhilbertiens
76
Exercices 82, 88, 95, 98
Problèmes
98
CHAPITRE 1
Jnt.,.oduction
Les notions d'analyse relatives aux suites et fonctions réelles ou complexes
qui ont servi de base à l'enseignement de première année vont être généralisées au cas d'espaces vectoriels, souvent de dimension finie, munis de
normes. Une première approche a déjà été faite lors de l'étude élémentaire
des fonctions de deux variables réelles, Analyse MPSI, ch. 11.
Une attention particulière est portée aux espaces préhilbertiens, c'est-à-dire
les espaces vectoriels réels ou complexes munis d' un produit scalaire (et
non nécessairement de dimension finie).
Pt4él4equis
• Les nombres réels (Analyse MPSI, ch. 1)
• Les nombres complexes (Analyse MPSI, ch. 2)
• Suites numériques (Analyse MPSI, ch. 3)
• Espaces vectoriels (Algèbre MPSI, ch. 6)
• Espaces vectoriels (Algèbre MPSI, ch. 6)
• Applications linéaires (Algèbre MPSI, ch. 7).
Objectifs
• Généralisation des notions d 'analyse relatives aux réels et aux complexes (convergence de suites, limites, continuité) vues en première
année, au cas des espaces vectoriels normés
• Acquisition du vocabulaire topologique : voisinages, parties ouvertes,
parties fermées, intérieur, adhérence, frontière, parties denses, ...
• Mise en évidence d'applications remarquables et fréquemment rencontrée : applications continues, uniformément continues, lipschitziennes,
homéomorphismes
• Étude spécifique des applications linéaires continues
• Définition et étude de parties remarquables jouant un rôle essentiel :
parties compactes, complètes, connexes par arcs
• Bilan sur les espaces préhilbertiens réels ou complexes.
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