Chapitre 3 • Intégration sur un intervalle quelconque
Exercice 3.1.1 eJ.
~ Propriété très utile en pratique.
-0
0
c
::J
0
(V)
.-t
0
N
@
.....,
.s:;
Ol
·;::
>- 0.
0
u
162
L'exemple de Bertrand, bien qu'étant
hors programme, est d'une utilisation
bien commode.En pratique, on détaillera
comme dans la Preuve ci-contre
On conclut par le théorème de domination (3.1.2 2) Prop. 2 p. 157) et l'exemple de Riemann en +oo,
puisque a > 1 .
2) Il existe c E [a; +oo[ tel que: Vx E [c; +oo[, xa f (x) ;?;: 1,
1
d'où: Vx E [c; +oo[, f(x) ?: - .
xa
On conclut par la contraposée du théorème de domination et l'exemple de Riemann en +oo, puisque
a::::; 1.
1
Remarque: L'application de la règle« xa f(x)» (en +oo ) revient à comparer f(x) et - (au
x"
voisinage de +oo ), pour un a à choisir convenablement. Certaines fonctions f échappent à
cette comparaison, et la règle« xa f (x)» (en +oo ) ne permet pas d'étudier l'intégrabilité de
f sur [a; +oo[. Par exemple, pour f : [2; +oo[-----+ JR , on a:
X~ x 1
1
nx
1
Va E]l ; +~(,
Va E] - OO, l],
et donc la règle «xa f (x)» ne s'applique pas.
xaf(x)------+ +OO
x-'>+oo
xa J (x) ------+ 0,
x-->+oo
Pour cet exemple, voir ci-après l'exemple de Bertrand.
Règle «(x - a)a f(x) » en a+
Soient (a,b) E ~
2
, tel que a < b,f E CM(]a; b]; ~),;;:;: O.
1) S'il existe a E] - oo; 1[ tel que (x - a)a f(x)----+ 0, alors/ est intégrable sur
+
]a;b].
X-'>G
2) S'il existe a E [1; +oo[ tel que (x - a)a f(x)----+ + oo, alors/ n'est pas inté+
grable sur ]a; b] .
x-'>a
Preuve
Analogue à celle de la Proposition 3.
1
On peut aussi se ramener à la Proposition 1 par le changement de variable u = - -.
x-a
Exemple:
•
L'application f : x t--+ -lnx est intégrable sur ]0; l] car f est continue, f ;?;: 0, et
1
x2 f (x) ----+ O. Cf. aussi Exemple 2) p. 160.
x-->o+
5) Exemple de Bertrand en +oo (hors programme)
Pour (a,{3) E JR 2 , étudions l'intégrabilité de fa ,{3 : [2; +oo[-----+ lR définie par :
1
"lx E [2; +oo[, fa ,f3(X) = x"(lnx)f3.
l +a
• Si a > 1 , en notant y = - - > 1, on a :
2
xY fa ,f3 (X) = X
1
2a (lnx) -f3 ------+ 0,
X-'>+OO
et donc fa ,f3 est intégrable sur [2; +oo[.
•Si a < 1 , on a: xfa,f3(X) = x
1
-" (lnx)-f3 ------+ + oo,
x-->+oo
et donc fa ,{3 n'est pas intégrable sur [2; +oo[.
• Si a = 1 , effectuons le changement de variable u = ln x :
"IXE [2; +oo[,
{ x
1 f3 dx = t"x ~ du.
12 x(lnx)
1 1n2
u
1
Donc fa f3 est intégrable sur [2; +oo[ si et seulement si u t--+ -{3 est intégrable sur [ln 2; +oo[,
'
u
c'est-à-dire si et seulement si fJ > 1.
a> 1
Finalement : fa,{3 est intégrable sur [2; +oo[ si et seulement si :
ou
(a = 1 et f3 > 1)