Exercice 3.1.1 a}.
Exercice 3.1.2.
~ Théorème très utile en pratique.
.._,
.s::
Ol
'i:
>- a.
0
u
1
1
-2 g(x) ~ f (x)-g(x) ~ l g(x).
Propriété très utile en pratique, mais ne
figurant pas explicitement au
programme. En pratique, on détaillera,
comme dans la Preuve ci-après.
3.1 ·Fonctions intégrables à valeurs réelles positives ou nulles
Exemple:
sin
2 x
L'application x f---+ -
2
- est intégrable sur [l ; +oo[ car:
X
Vx E [1; +oo[,
sin
2 x
1
0 ~ - 2- ~ 2
X
X
•
1
x f---+ 2 est intégrable sur [l; +oo[ .
X
L'utilisation du changement de variable u = x - a permet de montrer le Corollaire suivant, dont
le résultat générali se celui du Théorème précédent :
Exemple de Riemann en a, a E lR
1
Pour tout (a ,c ,a) de JR 3 tel que a # c, l'application x f----+
est intégrable
lx -a la
sur ]a ; c] (ou [c; a [) si et seulement si a < 1.
3)Théorème d'équivalence
Théorème d'équivalence
Soient (a,b) E lR x (JR U {+oo}) tel que a < b,f,g E CM([a; b[, JR) .
On suppose: f ~ O , g ~ O , f"'g.
b
Alors : f est intégrable sur [a; b[ si et seulement si g l'est.
Preuve
Puisque f ~ g, il existe c E [a; b[ tel que:
b
1
Vx E [c; b[, lf(x) - g(x)I ~ 2 g(x) ,
et donc: Vx E [c ; b[,
1
3
2 g(x) ~ f (x) ~ 2: g(x).
•Si f est intégrable sur [a; b[, alors f est intégrable sur [c; b[ et, comme:
Vx E [c; b[, 0 ~ g(x) ~ 2f (x),
g est intégrable sur [c; b[, donc sur [a; b[.
•Si g est intégrable sur [a; b[, alors g est intégrable sur [c; b[, et comme:
Vx E [c; b[,
3
0 ~ f (x) ~ 2 g(x),
f est intégrable sur [c; b[, donc sur [a; b[.
4) Règles xa f (x)
Règle« xa f (x) »en + oo
Soient a E JR+,f E CM([a; +oo[,JR), ~ O.
•
1) S'il existe a E]l; + oo[ tel que xa f (x)
0 , alors f est . intégrable sur
[ . + [
x---;.+oo
a , OO .
2) S'il existe a E] - oo; 1] tel que xa f(x)-----+ + oo, alors f n'est pas
l intégrable sur [a ; +oo[.
x-+ +
00
Preuve
1) Il existe c E [a; +oo[ tel que: Vx E [c; +oo[, 0 ~ xa f(x) ~ 1,
1
d'où: Vx E [c; +oo[, 0 ~ f (x) ~ - .
Xa
161