Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
On mélange les suites (e,,),, ;,o et
(i:n),, ;,o en une suite (u,,)11:;,o.
L'étude d'une intégrale de fonction à
valeurs vectorielles se ramène à l'étude
des intégrales des fonctions
composantes.
g On dit que l'intégration est linéaire.
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
130
On passe à la limite à partir du résultat
sur les applications en escalier.
Deux applications continues par
morceaux et qui coïncident sauf en un
nombre fini de points ont la même
intégrale.
l
et donc, puisque les suites ( { en) et ( { en) convergent :
J[a:bJ
neN
J[a ;b]
n EN
lim {
en = lim { en.
noo J[a:b]
noo J [a:b]
2ème méthode :
La suite (u 11 ) 11 :;, 0 , définie par u,, = e~ sin est pair et Un = e !!.=.!sin est impair, converge uniformément
-
2
vers f sur [a; b], donc ( { u 11 ) . converge. Comme les suites ( { en) et ( { e 11 )
l[a;b]
llEN
l[a:b]
nEN
l [a;b]
nEN
sont extraites de cette suite convergente, elles convergent vers la même limite.
La Proposition suivante est immédiate.
Supposons que E soit muni d'une base B = (e1,. .. ,eN) .
Soient! E CM,J1,. .. .fN les applications composantes def dans B; on a alors:
1 f=t(i. IJ)ej.
[a;b]
j=I
(a ;b]
2) Propriétés
L'application CM ----+ E est linéaire.
ft-+1 f
(a ;b]
]
Preuve
Soient À E IK, (f,g) E (CM)
2 . Il existe deux suites (e 11 ),, EN• (e,,)nEN d'applications en escalier
convergeant uniformément vers f,g respectivement.
Alors (Àe,, + en)n EN est une suite d'applications en escalier convergeant uniformément vers Àf + g car,
pour tout n de Net tout t de [a; b] :
ll(Àf + g)(t) - (Àen + e,,)(t)ll (: IÀI llf(t) - en(t) ll + llg(t) - e(t)ll,
et donc : ll(Àf + g) - (Àe,, + en) lloo (: IÀI llf - e,,lloo + llg - en lloo ~O.
noo
On a: { (Àen + e 11 ) = À { en + { en ~ À { f + { g.
lca:bJ
J[a;bJ
lra:bJ
noo
l ca:bJ
11a:bJ
D'où finalement: { (Àf + g) = À { f + { g.
J [a;b]
J [a:b]
J [a;b]
•
Soient f,g : [a; b] ----+ E continues par morceaux et coïncidant sauf sur une partie
finie de [a; b].
Alors : 1 f = 1 g
[a;b]
[a;b]
Preuve
Puisque f et g coïncident sauf au plus en un nombre fini de points, il existe une subdivision s = (ai )o,;;i ,;;n
de [a; b] telle que:
'Vt E [a; b] - {a;; 0 (: i (: n}, j(t) = g(t).