2.3.4
g On définit 1b fcomme limite d'une
suite d'intégrales 1b e 11 d'applications
en escalier.
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
Utilisation de la notion de suite de
Cauchy.
1
Le coefficient - - - n'est ici que
2(b - a)
pour la commodité, en vue des calculs
qui suivent.
Mais la limite de (1 . e11)
[a:b]
neN
pourrait, a priori, dépendre du choix de
la suite (e,, ) 11 eN approchant
uniformément.f.d'où le point2) suivant.
2.3 • Intégration sur un segment
Intégration des applications continues
par morceaux sur un segment
Dans ce§ 2.3.4 (sauf 3)), (a ,b) désigne un couple de réels tel que a < b.
On note CM l'espace vectoriel des applications [a; b] -----+ E continues par morceaux.
1) Intégrale d'une application continue par morceaux sur un segment
Soit f E CM. Pour toutes les suites (en)nEN d'applications en escalier sur [a; b]
convergeant uniformément versfsur [a; b], la suite ( 1. en) converge (dans E)
[a;b]
n EN
vers une même limite, appelée intégrale def(sur [a; b]) et notée 1 fou 1b fou
[a ;b]
a
1b f (t) dt.
Preuve
1) D'après 2.3.3 Th. p. 127, il existe une suite (en)n eN d'applications en escalier sur [a ; b] convergeant
uniformément vers f. Montrons que la suite (1 en) . converge dans E. A cet effet, nous allons
[a ;b]
n EN
montrer que (1 en) est de Cauchy dans E.
fa:b]
n EN
Soit e > O. Puisque (en)n eN converge uniformément vers f , il existe N E N tel que:
Vn EN, Vt E [a; b], ( n ;:::, N ===} ll f(t) - en(t)ll ~ e ) .
2(b - a)
Soient (p,q) E N 2 tel que p ;:::,: Net q ;:::,: N, et t E [a; b]. On a :
ê
llep(t) - eq(t)ll ~ ll eµ(t) - f(t) ll + ll f(t) - eq(t) ll ~ - - ,
b-a
d'où: 111 ep -1 eq Il = 111 (ep - eq)ll ~ 1 llep - eq ll ~ 1 _ e = e.
[a ;b ]
[a:b]
[a:b]
[a;b]
[a;b] b - a
Ceci prouve :
Ve > 0, 3N EN, V(p ,q) E N
2 ,
({ p ;:::, N
1 11
1 Il )
===}
ep -
eq ~ e ,
q ): N
[a ;b]
[a:b]
c'est-à-dire : la suite (1 e 11 ) est de Cauchy dans E.
[a;b]
n EN
Puisque E est de dimension finie, E est complet (cf. 1.4.2 Th. 2 p. 70), donc (1 en) converge
[a ;bJ
n EN
dans E .
2) Montrons que, si deux suites (en) 11 e N , ( e ,,)n eN d'applications en escalier convergeant uniformément
vers f, alors : lim 1 en = lim 1 en.
noo [a ;b ]
noo [a;bj
1 ère méthode :
On a, pour tout n de N :
Il
{ en- { ên l l ~ { llen - ên ll~ (b-a) l len-ên lloo
J[a:b]
ha ;h]
J[a :bJ
~ (b - a) (lien - f lloo + ll f - ênlloo),
129