-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
2.3 • Intégration sur un segment
2.3.1 Etudier (convergence simple, convergence uniforme) les suites d'applications suivantes :
2.3.3 Soient f E IRIR et, pour tout n de N*, fn : IR -----+ IR
définie par :
a)fn: IR-----+ IR,
u
1!ll
,. (
) = (f (x))J
fn(x) = n (Arctan (x+~)-Arctan (x-~)), n EN*
vX E JN..,
Jn X
l .
(f (x))2 + -
n
Montrer que (f 11 )nEN* converge uniformément vers f sur IR .
n+x
b) fn : IR+ -----+ IR, fn(X) =Arctan--, n EN
1 +nx
2.3.4 Soient X, Y deux ensembles non vides, f E yx,
(gn : Y -----+ E)n EN , g E EY ; on suppose que (gn)n
converge uniformément vers g sur Y. Montrer que
(g 11 o f)n converge uniformément vers g o f sur X.
c)fn: [O; 1]-----+ IR,j, 1 (x) =na (x
11 (l - x) +x(l-x)n),
n E N* , a E IR fixé.
2.3.2 a) Montrer que, pour tout n de N*, l'application
2.3.5 Soient X une partie compacte non vide de IR,
(fn : X -----+ E)n EN une suite d'applications convergeant
uniformément sur X vers une application continue
f: X-----+ E.
sin
2 2rrx
x 1------+
(
n) admet un prolongement fn conti(x - n) x - -
2
nu sur IR.
On suppose :
b) Etudier (convergence simple, convergence uniforme) la
suite Un)nE N* ·
'Vn E N, fn_, ({0}) =/= 0.
Montrer: f -
1 ({0}) =!= 0.
2.3.3
Approximation uniforme par des
applications en escalier.
On remarquera que 11 et N dépendent
den.
Construction d'une subdivision de pas
assez petit.
Construction d'une application en
escalier coïncidant avec/ en des points
assez serrés.
Approximation uniforme par des applications
en escalier ou par des applications affines
par morceaux et continues
Dans ce§ 2.3.3, (a,b) désigne un couple de réels tel que a < b.
Soit!: [a; b] ~ E continue par morceaux.
Il existe une suite (en : [a; b] ~ E)nEN d'applications en escalier sur [a; b] convergeant uniformément vers f sur [a; b] .
Preuve
1) Traitons d'abord Je cas où f est continue.
Soit n E N fixé.
Puisque f est continue sur le segment [a ; b] , d'après le théorème de Heine, f est uniformément continue sur [a; b].
Il existe donc T/ > 0 tel que :
V(t' ,t") E [a ; b ] 2 , ( lt' - t"I ~ ri==> llf(t') - f(t") ll ~ -
1
-).
n+l
b-a
(b-a)
Il existe N E N tel que----;:;--- ~ 17 (par exemple, N = E - T/ -
+ l ).
(
b-a)
Considérons la subdivision« régulière» s = a+ k - -
de [a; b], et l'application en escaN
O~k ~N
lier en : [a; b] -----+ E définie par :
1
[
b-a
b-a[
(
b-a)
'Vk E {0, ... , N - l}, Vt E a+ k----;:;-; a+ (k + !)----;:;--- ,en(t) = f a+ k----;:;en(b) = f(b).
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0
c
::J
0
(V)
......
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N
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2.3 • Intégration sur un segment
2.3.1 Etudier (convergence simple, convergence uniforme) les suites d'applications suivantes :
2.3.3 Soient f E IRIR et, pour tout n de N*, fn : IR -----+ IR
définie par :
a)fn: IR-----+ IR,
u
1!ll
,. (
) = (f (x))J
fn(x) = n (Arctan (x+~)-Arctan (x-~)), n EN*
vX E JN..,
Jn X
l .
(f (x))2 + -
n
Montrer que (f 11 )nEN* converge uniformément vers f sur IR .
n+x
b) fn : IR+ -----+ IR, fn(X) =Arctan--, n EN
1 +nx
2.3.4 Soient X, Y deux ensembles non vides, f E yx,
(gn : Y -----+ E)n EN , g E EY ; on suppose que (gn)n
converge uniformément vers g sur Y. Montrer que
(g 11 o f)n converge uniformément vers g o f sur X.
c)fn: [O; 1]-----+ IR,j, 1 (x) =na (x
11 (l - x) +x(l-x)n),
n E N* , a E IR fixé.
2.3.2 a) Montrer que, pour tout n de N*, l'application
2.3.5 Soient X une partie compacte non vide de IR,
(fn : X -----+ E)n EN une suite d'applications convergeant
uniformément sur X vers une application continue
f: X-----+ E.
sin
2 2rrx
x 1------+
(
n) admet un prolongement fn conti(x - n) x - -
2
nu sur IR.
On suppose :
b) Etudier (convergence simple, convergence uniforme) la
suite Un)nE N* ·
'Vn E N, fn_, ({0}) =/= 0.
Montrer: f -
1 ({0}) =!= 0.
2.3.3
Approximation uniforme par des
applications en escalier.
On remarquera que 11 et N dépendent
den.
Construction d'une subdivision de pas
assez petit.
Construction d'une application en
escalier coïncidant avec/ en des points
assez serrés.
Approximation uniforme par des applications
en escalier ou par des applications affines
par morceaux et continues
Dans ce§ 2.3.3, (a,b) désigne un couple de réels tel que a < b.
Soit!: [a; b] ~ E continue par morceaux.
Il existe une suite (en : [a; b] ~ E)nEN d'applications en escalier sur [a; b] convergeant uniformément vers f sur [a; b] .
Preuve
1) Traitons d'abord Je cas où f est continue.
Soit n E N fixé.
Puisque f est continue sur le segment [a ; b] , d'après le théorème de Heine, f est uniformément continue sur [a; b].
Il existe donc T/ > 0 tel que :
V(t' ,t") E [a ; b ] 2 , ( lt' - t"I ~ ri==> llf(t') - f(t") ll ~ -
1
-).
n+l
b-a
(b-a)
Il existe N E N tel que----;:;--- ~ 17 (par exemple, N = E - T/ -
+ l ).
(
b-a)
Considérons la subdivision« régulière» s = a+ k - -
de [a; b], et l'application en escaN
O~k ~N
lier en : [a; b] -----+ E définie par :
1
[
b-a
b-a[
(
b-a)
'Vk E {0, ... , N - l}, Vt E a+ k----;:;-; a+ (k + !)----;:;--- ,en(t) = f a+ k----;:;en(b) = f(b).
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