Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
On en déduit les variations de fn :
0
n
X
- -
1
n+ l
f~(x)
+
b -
fn(X)
0
/
""'
0
' {/J Exemple de « bosse glissante ».
-
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
126
0
n
X
n + 1
D'où : l lfnlloo= fn(n:1)=(n:lrn~l ~ n~l' donc llfnlloo-----+ O.
noo
On conclut: (f 11 ) 11 EN converge uniformément vers 0 sur [O; 1].
Remarques:
Convergence simple
7) L'exemple 7) précédent montre que la convergence simple n'entraîne pas la convergence
uniforme.
-# convergence uniforme.
2) Lorsque Cf,, : X -----+ lR)nEN converge simplement sur X mais pas uniformément sur X, il
est d'usage de déterminer des parties Y de X sur lesquelles il y ait convergence uniforme.
Dans l'exemple 7) précédent, pour chaque a E [0; 1[. Cfn)nEN converge uniformément sur
[O; a ] vers 0 car:
ll fnl[O:aJ lloo = llC!n - f)l[O :a]lloo = x~[~~a] lf,,(x) - f(x)I
= Sup lfn(x)I = fn(a)-----+ O.
xE[O:a]
11 00
Exercices 2.3.1 à 2.3.5.
3) Nous verrons dans 5.1.3 que, si (f, 1 )nEN converge uniformément vers f sur une partie X de
IR et si chaque f 11 est continue sur X, alors f est continue sur X. Cette propriété peut servir,
par contraposition, pour montrer qu'une suite d'applications, qui converge simplement, ne
converge pas uniformément (cf. exemple 7) précédent, sur [0; 1]).
etenir
Suites d'applications
•
•
•
Pour étudier une suite d'applications (ex. 2.3.1 , 2.3.2), on commencera, en général, par la convergence simple,
puis on passera à la convergence uniforme.
Pour étudier la convergence simple d'une suite d'applications Un : l ~ IK)neN, revenir à la définition: pour
x El (quelconque, mais fixé), étudier la suite numérique de terme généralf 11 (x). À cet effet, on mobilise ses
connaissances sur les suites numériques (Analyse MPSI ch. 3) et sur la comparaison locale des suites (Analyse
MPSI, ch. 8). Il est fréquent que l'on soit amené à distinguer des cas (suivant x).
Pour étudier la convergence uniforme d'une suite d'applications Un : l ~ IK) neN, après avoir montré la
convergence simple vers une certaine application f : l ~ IK, former fn - f pour n E N fixé, voir si fn - f est
bornée et calculer (à l'aide des variations de 1 fn - f 1 si c'est possible) ou évaluer, majorer, minorer 11 fn - f l loo.
D'après le cours, (§ 2.3.2 Prop. 2), la suite Un)n eN converge uniformément vers f sur l si et seulement si:
llfn -fl loo ~O .
1100
On en déduit les variations de fn :
0
n
X
- -
1
n+ l
f~(x)
+
b -
fn(X)
0
/
""'
0
' {/J Exemple de « bosse glissante ».
-
-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
.....,
.s::
Ol
·;::
>- 0.
0
u
126
0
n
X
n + 1
D'où : l lfnlloo= fn(n:1)=(n:lrn~l ~ n~l' donc llfnlloo-----+ O.
noo
On conclut: (f 11 ) 11 EN converge uniformément vers 0 sur [O; 1].
Remarques:
Convergence simple
7) L'exemple 7) précédent montre que la convergence simple n'entraîne pas la convergence
uniforme.
-# convergence uniforme.
2) Lorsque Cf,, : X -----+ lR)nEN converge simplement sur X mais pas uniformément sur X, il
est d'usage de déterminer des parties Y de X sur lesquelles il y ait convergence uniforme.
Dans l'exemple 7) précédent, pour chaque a E [0; 1[. Cfn)nEN converge uniformément sur
[O; a ] vers 0 car:
ll fnl[O:aJ lloo = llC!n - f)l[O :a]lloo = x~[~~a] lf,,(x) - f(x)I
= Sup lfn(x)I = fn(a)-----+ O.
xE[O:a]
11 00
Exercices 2.3.1 à 2.3.5.
3) Nous verrons dans 5.1.3 que, si (f, 1 )nEN converge uniformément vers f sur une partie X de
IR et si chaque f 11 est continue sur X, alors f est continue sur X. Cette propriété peut servir,
par contraposition, pour montrer qu'une suite d'applications, qui converge simplement, ne
converge pas uniformément (cf. exemple 7) précédent, sur [0; 1]).
etenir
Suites d'applications
•
•
•
Pour étudier une suite d'applications (ex. 2.3.1 , 2.3.2), on commencera, en général, par la convergence simple,
puis on passera à la convergence uniforme.
Pour étudier la convergence simple d'une suite d'applications Un : l ~ IK)neN, revenir à la définition: pour
x El (quelconque, mais fixé), étudier la suite numérique de terme généralf 11 (x). À cet effet, on mobilise ses
connaissances sur les suites numériques (Analyse MPSI ch. 3) et sur la comparaison locale des suites (Analyse
MPSI, ch. 8). Il est fréquent que l'on soit amené à distinguer des cas (suivant x).
Pour étudier la convergence uniforme d'une suite d'applications Un : l ~ IK) neN, après avoir montré la
convergence simple vers une certaine application f : l ~ IK, former fn - f pour n E N fixé, voir si fn - f est
bornée et calculer (à l'aide des variations de 1 fn - f 1 si c'est possible) ou évaluer, majorer, minorer 11 fn - f l loo.
D'après le cours, (§ 2.3.2 Prop. 2), la suite Un)n eN converge uniformément vers f sur l si et seulement si:
llfn -fl loo ~O .
1100