'
2.2.7
Opérations algébriques sur les dérivées
des fonctions à valeurs matricielles.
~ Remarquer l'ordre des facteurs: A -
1 ,
A',A - 1 •
2.2 • Dérivation
Dérivation des fonctions à valeurs matricielles
Pour (n,p) E (N*) 2 , le lK-ev Mn ,p(lK) (formé des matrices à n lignes et p colonnes et
à coefficients dans JK) est muni d'une quelconque de ses normes (cf. 1.3.2 Th. 1 p. 63).
Aux résultats des paragraphes précédents s'ajoutent ceux provenant des opérations sur
les matrices : multiplication, inversion, transposition, conjugaison, trace, déterminant.
1) Si a E lK et si A,B: I ~ Mn,p(lK) sont dérivables sur I, alors aA + B
I ~ Mn,p(lK) est dérivable sur I et:
tf----+aA(t)+B(t)
Vt E I, (aA + B)
1 (t) = aA
1 (t) + B'(t).
2) Si A : I ~ M 11 ,p(lK) et B: 1 ~ Mp,q(lK) sont dérivables sur/, alors AB :
I ~ Mn ,q (JK) est dérivable sur I et :
t~A(t)B(t)
Vt El, (AB) '(t) = A'(t)B(t) + A(t)B
1 (t).
3) Si A: I ~ Mn,p(lK) est dérivable sur I , alors tA : I ~ Mp,n(lK) est dérit~ 1 (A(t))
vable sur I et: Vt E I, (tA)' (t) = t(A'(t)).
4) Si A : I ~ Mn(lK) est dérivable sur I et si (Vt E I, A(t) E GLn(lK)), alors
A - J : I ~ Mn (JK) est dérivable sur 1 et :
t~(A(t))--- 1
Vt E / , (A- 1 )'(t) = -A- 1 (t)A'(t)A- 1 (t).
5) Si A : I ~ Mn (JK) est dérivable sur I, alors tr(A) : I ~ lK est dérivable sur
t~tr(A(t))
I et: Vt E I, (tr(A))'(t) = tr(A' (t)).
6) Si A : I ~ Mn ,p(C) est dérivable sur I , alors A: I ~ Mn , p(C) est dérivable
t~A(t)
l sur I et: Vt E I , (A)'(t) = A'(t).
Preuve
Remarquons d'abord que, si A(t) = (aij(t)) 1 ,;:;; ,;:;n, A est dérivable sur I si et seulement si toutes les
l ( j ( p
aij : I ----+ IK sont dérivables sur / , et qu'alors : \:/t E /, A' (t) = (a~ i (t)) 1,;:;i ,;:;n .
.
l ( j ( p
1) Cf. 2.2.3 Th. 1p.112.
2) Cf. 2.2.3 Th. l p. 112.
3) Immédiat.
4) • Pour chaque (i, j) de { 1,. .. ,n }
2 , notons ai) (t) le (i, j)ème élément de A (t), et Ai} (t) le cofacteur
de la (i,j)ème place dans A(t). Par hypothèse : Vt E /, det(A(t)) # 0, et donc : \:/t E /,
1
(A(t)) --- 1 =
1 (com(A(t))),
où
com(A(t))
est
la
comatrice
de
A(t) ,
det(A(t))
com(A(t)) = (A;1(t))1 ,;:;i,j ( n.
Les applications Aij et det(A) , qui sont des polynômes en les coefficients de A, sont dérivables sur / ,
donc A - I est dérivable sur /.
• \:/t E / , A(t)A--1 (t) =In, d'où en dérivant (cf. 2)):
\:/t E /, A'(t)A1 (t) +A(t)(A1 )'(t) = 0,
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