-0
0
c
::J
0
(V)
......
0
N
@
120
Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
2.2.6
La différentiel le de f en a est donc une
application linéaire.
Autrement dit, f admet un développement limité à l'ordre 1 en a (cf. plus
loin,§ 2.4.3 p. 151 ).
La dérivabilité en a est équivalente à
l'existence d'un DL 1 (a).
Opérations algébriques su r les
différentielles.
• a = ao < ... < am = b
• pour tout i de {O,. .. ,m - 1}, !lia; ;a;+ i r admet un prolongement f; à [ai; a;+ 1 ] qui soit de classe
C
1 sur [a; ; a;+ 1 ] .
Pour chaque i de {O,. .. ,m - l}, f; est continue sur [ai; a;+ 1 ], dérivable sur ]a;; a; + 1 [,et, pour tout x
de ]a;; a; + 1 [, f/ (x) = f' (x) = 0. D'après 2.2.3 Th. 5 p. 113, f; est constante sur [a;; a;+ 1 ] .
D'autre part, comme f est continue sur 1, on a:
"li E {O,. .. ,m}, f(a;) = f;(a;).
Ainsi, festconstante sur [a; a i] , [a1; a 2 ], .. ., [a 111 - 1; b], et donc:
f(a) = f(a1) = ... = f(am - 1) = f(b).
Finalement, f est constante sur 1.
•
Différentiel le
Soient a E l ,f E E
1 ; on suppose que f est dérivable en a. On appelle différentielle de f en a l'application, notée da f , définie par :
L
daf: ~ --* E
h 1-----+ hf' (a).
Il existe une application s : {h E IR; a + h E /} -----+ E telle que :
1
Pour tout h de IR tel que a+ h E / ,on a f (a + h) = f (a)+ (da f)(h) + hs(h)
s(h) ~O.
h->0
Remarques:
1) Une application f : 1 -----+ E est dérivable en a si et seulement s'il existe un élément A de
E et une application s : {h E IR; a + h E /} -----+ E telles que:
1
Pour tout h de IR tel que a+ h E / ,on a f (a+ h) = f (a)+ hA + hs(h)
s (h) ~ 0
h->0
(et alors A= f'(a)).
2) Ayant noté dt : IR -----+ IR (cf. Analyse MPSI, 5.1.6 Remarque 2)), si f E E 1 est dérivable en a,
on a :
h t-----+ h
"lh E IR, (daf)(h) = hf'(a) = J '(a) dt(h),
c'est-à-dire : daf = f '(a) dt.
La Proposition suivante est immédiate à partir de 2.2.2 Th. 1 p. 110.
Soient a E /,a E IK, À: l --* IK, f,g: l --* E. Si À, j; g sont dérivables en a,
alors:
1) da(f + g) = daf + dag
2) da(af) =a daf
3) da(Àf) = (daÀ)f(a) + À(a)daf
L__ ) d (~) - -
1
d À si À(a) .....L O.
a À
-
(À(a))2 a
-r
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Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
2.2.6
La différentiel le de f en a est donc une
application linéaire.
Autrement dit, f admet un développement limité à l'ordre 1 en a (cf. plus
loin,§ 2.4.3 p. 151 ).
La dérivabilité en a est équivalente à
l'existence d'un DL 1 (a).
Opérations algébriques su r les
différentielles.
• a = ao < ... < am = b
• pour tout i de {O,. .. ,m - 1}, !lia; ;a;+ i r admet un prolongement f; à [ai; a;+ 1 ] qui soit de classe
C
1 sur [a; ; a;+ 1 ] .
Pour chaque i de {O,. .. ,m - l}, f; est continue sur [ai; a;+ 1 ], dérivable sur ]a;; a; + 1 [,et, pour tout x
de ]a;; a; + 1 [, f/ (x) = f' (x) = 0. D'après 2.2.3 Th. 5 p. 113, f; est constante sur [a;; a;+ 1 ] .
D'autre part, comme f est continue sur 1, on a:
"li E {O,. .. ,m}, f(a;) = f;(a;).
Ainsi, festconstante sur [a; a i] , [a1; a 2 ], .. ., [a 111 - 1; b], et donc:
f(a) = f(a1) = ... = f(am - 1) = f(b).
Finalement, f est constante sur 1.
•
Différentiel le
Soient a E l ,f E E
1 ; on suppose que f est dérivable en a. On appelle différentielle de f en a l'application, notée da f , définie par :
L
daf: ~ --* E
h 1-----+ hf' (a).
Il existe une application s : {h E IR; a + h E /} -----+ E telle que :
1
Pour tout h de IR tel que a+ h E / ,on a f (a + h) = f (a)+ (da f)(h) + hs(h)
s(h) ~O.
h->0
Remarques:
1) Une application f : 1 -----+ E est dérivable en a si et seulement s'il existe un élément A de
E et une application s : {h E IR; a + h E /} -----+ E telles que:
1
Pour tout h de IR tel que a+ h E / ,on a f (a+ h) = f (a)+ hA + hs(h)
s (h) ~ 0
h->0
(et alors A= f'(a)).
2) Ayant noté dt : IR -----+ IR (cf. Analyse MPSI, 5.1.6 Remarque 2)), si f E E 1 est dérivable en a,
on a :
h t-----+ h
"lh E IR, (daf)(h) = hf'(a) = J '(a) dt(h),
c'est-à-dire : daf = f '(a) dt.
La Proposition suivante est immédiate à partir de 2.2.2 Th. 1 p. 110.
Soient a E /,a E IK, À: l --* IK, f,g: l --* E. Si À, j; g sont dérivables en a,
alors:
1) da(f + g) = daf + dag
2) da(af) =a daf
3) da(Àf) = (daÀ)f(a) + À(a)daf
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