Pour étudier la classe d'une application
à valeurs vectorielles, on peut se ramener
à celles d'applications à valeurs réelles
ou complexes.
Opérations algébriques sur les fonctions
de classe C".
l
2.2 • Dérivation
2) On dit que/ est de classe e
00 sur l si et seulement si/ est indéfiniment dérivable
sur/.
Pour n E NU { +oo}, on note en (1, E) l'ensemble des applications de classe en de l
dans E.
La Proposition suivante est immédiate.
Supposons que E soit muni d'une base B. Soient n EN U {+oo},/ E E 1 ,J1 , ... JN
les applications composantes de f dans B. On a :
f E en(l,E) {::::::::}(V j E {l, ... ,N }, fj E en (/, IK)).
Remarques:
1) f E C
0 (1, E) si et seulement si f est continue sur/.
2) Pour tout (m ,n) E (f::I U {+oo}) 2 tel que m ~ n, on a: C
111
(/, E) :J en(/, E).
3) C
00 (/,E) = n C"(/,E).
n EN
J
4) Une application f : I ~ E peut être n fois dérivable sur I sans être de classe en sur /.
Par exemple,f: IR ~
1 2ei/ r
(~
0
est dérivable sur IR , mais n'est classe C
1 sur IR .
si t # 0
si t = 0
5) Nous verrons plus loin (2.3.7 Cor. 2 p. 140) que, sous certaines hypothèses, si f' admet une
limite en a,alorsf' est continue en a.
6) Nous avions vu dans Analyse MPSI que, si f : I ~ IR est dérivable, alors f' (/) est un
intervalle de IR («théorème de Darboux »,exercice 5.2.11 ). Mais, si N = dim(E) ~ 2, l'image
f'(I) de l'intervalle Iparla dérivée d'une application f: I ~ E dérivable sur I peut ne
pas être une partie connexe par arcs de E (cf. exercice 2.2.4 p. 115).
Le Théorème suivant se déduit aisément de 2.2.4 Th. 1 et Th. 2 p. 116.
Soient n EN U {+oo}, a E IK, f,g: l ----'* E , À: I ----'* IK . On suppose À, f, g de
classe en sur I. Alors :
l)f + g est de classe en sur I et (sin EN): (f + g)(n) = f(n) + g
.
1
3) S1 ('Vt E /, À(t) # 0), alors - est de classe en sur/.
À
Ainsi, en particulier, en(/, E) est un IK-ev.
Le Théorème suivant se déduit aisément de 2.2.4 Th. 2 p. 116.
Soient n EN U {+oo}, E,F,G trois IK-evn de dimensions finies, B: Ex F----'* G
une application bilinaire,f E en(l,E), g E en(l,F).
Alors l'application B(f,g) : l ----'* G
est de classe en sur I et (sin E N) :
ti---+ B(f (t),g(t))
117
à valeurs vectorielles, on peut se ramener
à celles d'applications à valeurs réelles
ou complexes.
Opérations algébriques sur les fonctions
de classe C".
l
2.2 • Dérivation
2) On dit que/ est de classe e
00 sur l si et seulement si/ est indéfiniment dérivable
sur/.
Pour n E NU { +oo}, on note en (1, E) l'ensemble des applications de classe en de l
dans E.
La Proposition suivante est immédiate.
Supposons que E soit muni d'une base B. Soient n EN U {+oo},/ E E 1 ,J1 , ... JN
les applications composantes de f dans B. On a :
f E en(l,E) {::::::::}(V j E {l, ... ,N }, fj E en (/, IK)).
Remarques:
1) f E C
0 (1, E) si et seulement si f est continue sur/.
2) Pour tout (m ,n) E (f::I U {+oo}) 2 tel que m ~ n, on a: C
111
(/, E) :J en(/, E).
3) C
00 (/,E) = n C"(/,E).
n EN
J
4) Une application f : I ~ E peut être n fois dérivable sur I sans être de classe en sur /.
Par exemple,f: IR ~
1 2ei/ r
(~
0
est dérivable sur IR , mais n'est classe C
1 sur IR .
si t # 0
si t = 0
5) Nous verrons plus loin (2.3.7 Cor. 2 p. 140) que, sous certaines hypothèses, si f' admet une
limite en a,alorsf' est continue en a.
6) Nous avions vu dans Analyse MPSI que, si f : I ~ IR est dérivable, alors f' (/) est un
intervalle de IR («théorème de Darboux »,exercice 5.2.11 ). Mais, si N = dim(E) ~ 2, l'image
f'(I) de l'intervalle Iparla dérivée d'une application f: I ~ E dérivable sur I peut ne
pas être une partie connexe par arcs de E (cf. exercice 2.2.4 p. 115).
Le Théorème suivant se déduit aisément de 2.2.4 Th. 1 et Th. 2 p. 116.
Soient n EN U {+oo}, a E IK, f,g: l ----'* E , À: I ----'* IK . On suppose À, f, g de
classe en sur I. Alors :
l)f + g est de classe en sur I et (sin EN): (f + g)(n) = f(n) + g
.
1
3) S1 ('Vt E /, À(t) # 0), alors - est de classe en sur/.
À
Ainsi, en particulier, en(/, E) est un IK-ev.
Le Théorème suivant se déduit aisément de 2.2.4 Th. 2 p. 116.
Soient n EN U {+oo}, E,F,G trois IK-evn de dimensions finies, B: Ex F----'* G
une application bilinaire,f E en(l,E), g E en(l,F).
Alors l'application B(f,g) : l ----'* G
est de classe en sur I et (sin E N) :
ti---+ B(f (t),g(t))
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