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116
Chapitre 2 • Fonctions vectorielles d'une variable réelle
Opérations algébriques sur les fonctions
n fois dérivables.
2.2.5
Lorsqu'une application f : I --+ E
est n fois dérivable sur /, sa dérivée
n-ième existe sur l ; comme on sera
souvent conduit à utiliser JM, dans
une intégrale par exemple, on est amené
à supposerquef(n) estcontinue,cequi
justifie la définition ci-contre.
r
Soient n E N, a E JK, À : l -----+ lK ,f,g : l -----+ E . On suppose que À,f, g sont n fois
dérivables sur /. Alors :
1) f + g est n fois dérivable sur l et :
et:
2) af est n fois dérivable sur l
1
(f + g)(n ) = f(n ) + g(n)
(af)(n) = af(n)
3) Si (Vt E J ,À(t) # 0), alors - est n fois dérivable sur/.
À
Preuve
Analogue à celle d' Analyse MPSI, 5 .1.4 Th. 1 ), 2 ), 4 ).
•
Soient n EN, E , F,G trois JK-evn de dimensions finies, B: Ex F-----+ G une l
application bilinéaire,/ : l -----+ E, g : l -----+ F. Sif et g sont n fois dérivables sur
/ , alors B(f,g) : l -----+ G
est n fois dérivable sur let (formule de Leibniz):
tt--+ B(j(t) ,g(t))
( B(f.K)) M ~ {; C, R (J''l,g(n-kl)
Il
k
J
~~~~~~~~~
Preuve
Analogue à celle d'Analyse MPSI, 5.1.4 Th. 3).
•
Soit n E N .
1) Soient À : l -----+ lK,f : l -----+ En fois dérivables sur/. Alors Àf est n fois dérivable sur l et :
n
k
(Àn k=O
2) Soient (E ,(.I.)) un espace euclidien ou herrnitien,f,g : l-----+ En fois dérivables
sur/. Alors (fig) : l -----+ lK
est n fois dérivable sur let:
tr--+ (f (t) lg (t))
n
k
(flg) (n) = L: en u(k) ig k=O
3) Soient E un espace euclidien orienté de dimension 3 ,f, g : l -----+ E n fois dérivables sur /. Alors f /\ g : 1 -----+ E
est n fois dérivable sur l et :
tr--+ f (t) /\g (t)
Il
k
(f /\ g)(n) = L Cnf(k ) /\ g k=O
Classe d'une application
1) Notion de classe d'une application
Soit/ E E
1
.
1) Soit n E N ; on dit que f est de classe C
11 sur l si et seulement si :
{
f est n fois dérivable sur l
f (n) est continue sur I
Î