ou encore
cos x = 1 −
x
2
2
+
x
4
24
cos(c)
b) Puisque x
4
0, l’inégalité cos c 1 implique
x
4
24
cos(c)
x
4
24
, d’où
cos x 1 −
x
2
2
+
x
4
24
.
Pour l’autre inégalité demandée, écrivons la formule de Taylor à
l’ordre 2 seulement : pour tout x, il existe d tel que
cos x = 1 +
x
2
2
(− cos d)
On a
x
2
2
(− cos d)
x
2
2
× (−1), donc cos x 1 −
x
2
2
.
2.5 a) Puisque sin(π/6) = 1/2 et sin
(π/6) = cos(π/6) =
√
3/2,
l’équation de la tangente à sinus au point d’abscisse π/6 est
y = 1/2 + (
√
3/2)(x − π/6)
b) À l’abscisse x, la distance entre le graphe de sinus et sa tangente au
point d’abscisse π/6 est
sin x − u(x)
. Pour majorer cet écart, écrivons
la formule de Taylor à l’ordre 2, au point π/6 :
pour tout x ∈ R, il existe c compris entre x et π/6 tel que
sin x =
1
2
+
√
3
2
x −
π
6
+
1
2
x −
π
6
2
(− sin c)
sin x − u(x)
=
1
2
x −
π
6
2
| sin c|
Supposons x ∈ [0,π/3]. Puisque c est entre x et π/6, on a c ∈ [0,π/3],
donc 0 sin c sin(π/3) =
√
3/2. On en déduit
sin x − u(x)
1
2
x −
π
6
2
√
3
2
=
√
3
4
x −
π
6
2
Voici le graphe de sinus et sa tangente au point (π/6,1/2) ; la quantité
sin x − u(x)
est l’écart, à l’abscisse x, entre la courbe et la tangente.
Solutions
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