Démonstration 16.1 : l'équation de Michaelis-Menten
Le mécanisme proposé pour expliquer l'action des enzymes est
k 1
k2
E + S �E S - E + P
k - 1
où E représente l'enzyme, S le substrat, ES le complexe enzyme-substrat
et P le produit. Les diverses constantes de vitesse propres aux trois réactions possibles au départ du complexe ES figurent également dans ce
schéma. En ce qui concerne la formation du produit P, on peut dire que
sa vitesse de formation est donnée par
Vitesse de formation du produit P = k2 [ES]
Malheureusement, on ne connaît pas la concentration du complexe
enzyme-substrat, de sorte que cette équation est inutilisable. Il faudrait
en fait pouvoir remplacer [ES] par quelque autre expression. Le complexe enzyme-substrat est créé par la réaction directe (constante de
vitesse k 1 ) et il est amené à disparaître soit selon la réaction inverse
(constante de vitesse k_ 1 ), soit en continuant vers la formation du produit P (constante de vitesse k2). La vitesse nette de production de ES
correspond donc à:
Vitesse nette de formation de ES = k 1 [E] [S] - k- 1 [ES] - k2[ES]
Lorsque la réaction va démarrer, il n'y a pas de ES présent. Sa concentration augmente ensuite rapidement dès le début de la réaction. Mais au
fur et à mesure que [ES] croît, la vitesse de sa décomposition augmente,
que ce soit pour redonner l'enzyme et le substrat, c'est-à-dire revenir
à la situation de départ, ou pour fournir le produit voulu et régénérer
l'enzyme. À un moment donné, les vitesses de formation et de disparition de ES seront égales. Dès cet instant, la concentration du complexe
enzyme-substrat ne variera plus jusqu'à la fin ultime de la réaction. On
peut donc raisonnablement considérer que la concentration de ES reste
constante durant la majeure partie de la durée de la réaction. C'est ce
qu'on appelle l'hypothèse du régime stationnaire.
Si on se rallie à cette hypothèse, il s'ensuit alors qu'en régime stationnaire la vitesse nette de formation de ES doit être nulle. Donc,
0 = ki [E] [S] - k_ 1 [ES] - k2[ES]
Ici, [E] est la concentration de l'enzyme libre. À nouveau, il s'agit d'un
paramètre dont nous ignorons la valeur, de sorte que cette équation,
comme telle, n'est toujours pas utilisable. Ce que l'on connaît, c'est la
concentration totale [E]o de l'enzyme mis en œuvre, et il se fait que
[E]o = [E] + [ES]
[E] = [E]o - [ES]
0 = k 1 ([E]o - [ES])[S] - k - 1 [ES] - k2[ES]
= k 1 [E]o[S] - k 1 [ES] [S] - k_ 1 [ES] - k2 [ES]
Après réarrangement, on obtient
k 1 [E]o[S] = k 1 [ES] [S] + k -1 [ES] + k2 [ES]
= (k 1 [S] + k -1 + k2) [ES]
Appendice 289
'f
Le mécanisme proposé pour expliquer l'action des enzymes est
k 1
k2
E + S �E S - E + P
k - 1
où E représente l'enzyme, S le substrat, ES le complexe enzyme-substrat
et P le produit. Les diverses constantes de vitesse propres aux trois réactions possibles au départ du complexe ES figurent également dans ce
schéma. En ce qui concerne la formation du produit P, on peut dire que
sa vitesse de formation est donnée par
Vitesse de formation du produit P = k2 [ES]
Malheureusement, on ne connaît pas la concentration du complexe
enzyme-substrat, de sorte que cette équation est inutilisable. Il faudrait
en fait pouvoir remplacer [ES] par quelque autre expression. Le complexe enzyme-substrat est créé par la réaction directe (constante de
vitesse k 1 ) et il est amené à disparaître soit selon la réaction inverse
(constante de vitesse k_ 1 ), soit en continuant vers la formation du produit P (constante de vitesse k2). La vitesse nette de production de ES
correspond donc à:
Vitesse nette de formation de ES = k 1 [E] [S] - k- 1 [ES] - k2[ES]
Lorsque la réaction va démarrer, il n'y a pas de ES présent. Sa concentration augmente ensuite rapidement dès le début de la réaction. Mais au
fur et à mesure que [ES] croît, la vitesse de sa décomposition augmente,
que ce soit pour redonner l'enzyme et le substrat, c'est-à-dire revenir
à la situation de départ, ou pour fournir le produit voulu et régénérer
l'enzyme. À un moment donné, les vitesses de formation et de disparition de ES seront égales. Dès cet instant, la concentration du complexe
enzyme-substrat ne variera plus jusqu'à la fin ultime de la réaction. On
peut donc raisonnablement considérer que la concentration de ES reste
constante durant la majeure partie de la durée de la réaction. C'est ce
qu'on appelle l'hypothèse du régime stationnaire.
Si on se rallie à cette hypothèse, il s'ensuit alors qu'en régime stationnaire la vitesse nette de formation de ES doit être nulle. Donc,
0 = ki [E] [S] - k_ 1 [ES] - k2[ES]
Ici, [E] est la concentration de l'enzyme libre. À nouveau, il s'agit d'un
paramètre dont nous ignorons la valeur, de sorte que cette équation,
comme telle, n'est toujours pas utilisable. Ce que l'on connaît, c'est la
concentration totale [E]o de l'enzyme mis en œuvre, et il se fait que
[E]o = [E] + [ES]
[E] = [E]o - [ES]
0 = k 1 ([E]o - [ES])[S] - k - 1 [ES] - k2[ES]
= k 1 [E]o[S] - k 1 [ES] [S] - k_ 1 [ES] - k2 [ES]
Après réarrangement, on obtient
k 1 [E]o[S] = k 1 [ES] [S] + k -1 [ES] + k2 [ES]
= (k 1 [S] + k -1 + k2) [ES]
Appendice 289
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