Avant-propos
Le Calcul différentiel a été créé par sir Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz, dans la
seconde moitié du XVII-ème siècle. Très vite, il s'est imposé comme une avancée majeure
des Mathématiques et même, plus généralement, de la Science. Newton lui-même! 'utilise,
vers 1680, pour expliquer le mouvement des planètes. Avec le développement des théories
des équations différentielles et des équations aux dérivées partielles, le Calcul différentiel
est rapidement devenu l'outil essentiel pour la formulation mathématique de nombreuses
théories physiques, dans les domaines les plus divers : Mécanique, Électromagnétisme,
Thermodynamique, Optique, .... La place de choix qu'occupe le Calcul différentiel dans
les enseignements de deuxième cycle de Mathématiques est donc pleinement justifiée.
Le présent ouvrage traite du Calcul différentiel dans des espaces vectoriels normés, pas
nécessairement de dimension finie, ou dans les espaces affines qui leur sont associés. Nous
pensons en effet que traiter le Calcul différentiel uniquement dans les espaces ~n serait une
erreur, malheureusement assez commune dans certains enseignements universitaires : une
telle limitation masque la nature essentiellement géométrique de la notion de différentielle
et conduit à traiter le sujet de manière calculatoire, peu propice à l'appréhension des idées,
sans pour autant permettre de notable simplification. Mais conformément aux caractères
généraux de la présente collection, nous introduisons toutes les notions abstraites de
manière simple et progressive, et nous les illustrons par des exemples, en particulier dans
les nombreux exercices, qui tous sont résolus.
Nous supposons le lecteur familiarisé avec les notions de base de la Topologie et les
propriétés élémentaires des espaces vectoriels normés, exposées par exemple dans le
volume Topologie des mêmes auteurs, dans la même collection. Nous renvoyons à cet
ouvrage par des références telles que [T.VIII.3.8], qui renvoie au sous-paragraphe 3.8 du
chapitre VIII du livre Topologie (théorème d' Ascoli).
Nous avons voulu éviter au lecteur d'avoir à se reporter trop souvent à d'autres parties
éloignées du texte. C'est pourquoi le repérage des formules, par des signes tels que ( *),
(**)ou ( ***),est le plus souvent local; il n'a de valeur que dans le paragraphe courant. Les
renvois à d'autres parties du texte se font par le numéro de chapitre en chiffres romains,
suivi des numéros de paragraphe et de sous-paragraphe et, éventuellement, de la lettre
repérant le sous-sous-paragraphe. Exemples : 1.2.4 désigne le théorème d'inversion locale,
page 43; V.2.7 désigne le théorème de Cauchy-Lipschitz, page 119. À l'intérieur d'un
même chapitre, le numéro de chapitre est omis.
Les auteurs remercient leurs collègues Dominique Bernardi et Philippe Pilibossian, ainsi
que Corinne Baud, des éditions Ellipses, pour leur aide patiente et attentive.
Paris, juillet 1997
Gilles Christol
Anne Cot
Charles-Michel Marle
Le Calcul différentiel a été créé par sir Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz, dans la
seconde moitié du XVII-ème siècle. Très vite, il s'est imposé comme une avancée majeure
des Mathématiques et même, plus généralement, de la Science. Newton lui-même! 'utilise,
vers 1680, pour expliquer le mouvement des planètes. Avec le développement des théories
des équations différentielles et des équations aux dérivées partielles, le Calcul différentiel
est rapidement devenu l'outil essentiel pour la formulation mathématique de nombreuses
théories physiques, dans les domaines les plus divers : Mécanique, Électromagnétisme,
Thermodynamique, Optique, .... La place de choix qu'occupe le Calcul différentiel dans
les enseignements de deuxième cycle de Mathématiques est donc pleinement justifiée.
Le présent ouvrage traite du Calcul différentiel dans des espaces vectoriels normés, pas
nécessairement de dimension finie, ou dans les espaces affines qui leur sont associés. Nous
pensons en effet que traiter le Calcul différentiel uniquement dans les espaces ~n serait une
erreur, malheureusement assez commune dans certains enseignements universitaires : une
telle limitation masque la nature essentiellement géométrique de la notion de différentielle
et conduit à traiter le sujet de manière calculatoire, peu propice à l'appréhension des idées,
sans pour autant permettre de notable simplification. Mais conformément aux caractères
généraux de la présente collection, nous introduisons toutes les notions abstraites de
manière simple et progressive, et nous les illustrons par des exemples, en particulier dans
les nombreux exercices, qui tous sont résolus.
Nous supposons le lecteur familiarisé avec les notions de base de la Topologie et les
propriétés élémentaires des espaces vectoriels normés, exposées par exemple dans le
volume Topologie des mêmes auteurs, dans la même collection. Nous renvoyons à cet
ouvrage par des références telles que [T.VIII.3.8], qui renvoie au sous-paragraphe 3.8 du
chapitre VIII du livre Topologie (théorème d' Ascoli).
Nous avons voulu éviter au lecteur d'avoir à se reporter trop souvent à d'autres parties
éloignées du texte. C'est pourquoi le repérage des formules, par des signes tels que ( *),
(**)ou ( ***),est le plus souvent local; il n'a de valeur que dans le paragraphe courant. Les
renvois à d'autres parties du texte se font par le numéro de chapitre en chiffres romains,
suivi des numéros de paragraphe et de sous-paragraphe et, éventuellement, de la lettre
repérant le sous-sous-paragraphe. Exemples : 1.2.4 désigne le théorème d'inversion locale,
page 43; V.2.7 désigne le théorème de Cauchy-Lipschitz, page 119. À l'intérieur d'un
même chapitre, le numéro de chapitre est omis.
Les auteurs remercient leurs collègues Dominique Bernardi et Philippe Pilibossian, ainsi
que Corinne Baud, des éditions Ellipses, pour leur aide patiente et attentive.
Paris, juillet 1997
Gilles Christol
Anne Cot
Charles-Michel Marle