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15 • Représentation d’état des systèmes à temps discret
SOLUTIONS
15.1 Par le calcul direct, on a :
x(k0) = [A]
k 0 x (0) +
k 0 −1
i=0
[A]
k 0 −1−i (B) e(i)
soit :
x(4) = [A]
3 (B) e(0) + [A]
2 (B) e(1) + [A]
1 (B) e(2) + [A]
0 (B) e(3)
Comme e(i) = 1, ∀i :
x(4) =
[A]
3 + [A]
2 + [A]
1 + I
(B)
Or :
[A]
2 =
⎡
⎣
−1
1
−4 −2
⎤
⎦
⎡
⎣
−1
1
−4 −2
⎤
⎦ =
⎡
⎣
−3 −3
12
0
⎤
⎦
et :
[A]
3 =
⎡
⎣
−3 −3
12
0
⎤
⎦
⎡
⎣
−1
1
−4 −2
⎤
⎦ =
⎡
⎣
15
3
−12 12
⎤
⎦
d’où :
x(4) =
⎧
⎨
⎩
⎡
⎣
15
3
−12 12
⎤
⎦ +
⎡
⎣
−3 −3
12
0
⎤
⎦ +
⎡
⎣
−1
1
−4 −2
⎤
⎦ +
⎡
⎣
1 0
0 1
⎤
⎦
⎫
⎬
⎭
(B)
soit :
x(4) =
⎡
⎣
12
1
−4 11
⎤
⎦
⎛
⎝
1
−1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
11
−15
⎞
⎠
En utilisant une méthode d’itérations successives, on a :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x(1) =
⎡
⎣
−1
1
−4 −2
⎤
⎦
⎛
⎝
0
0
⎞
⎠ +
⎛
⎝
1
−1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
1
−1
⎞
⎠
x(2) =
⎡
⎣
−1
1
−4 −2
⎤
⎦
⎛
⎝
1
−1
⎞
⎠ +
⎛
⎝
1
−1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
−1
−3
⎞
⎠
x(3) =
⎡
⎣
−1
1
−4 −2
⎤
⎦
⎛
⎝
−1
−3
⎞
⎠ +
⎛
⎝
1
−1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
−1
9
⎞
⎠
x(4) =
⎡
⎣
−1
1
−4 −2
⎤
⎦
⎛
⎝
−1
9
⎞
⎠ +
⎛
⎝
1
−1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
11
−15
⎞
⎠
15.2 La fonction de transfert est obtenue facilement en appliquant la relation :
G(z) = (C) (zI − [A])
−1 (B)
On a :
(zI − [A]) =
⎡
⎣
z 0
0 z
⎤
⎦ −
⎡
⎣
1 2
2 1
⎤
⎦ =
⎡
⎣
z − 1
−2
−2
z − 1
⎤
⎦
d’où :
(zI − [A])
−1 =
1
(z − 1)
2 − 4
⎡
⎣
z − 1
2
2
z − 1
⎤
⎦ =
1
(z + 1) (z − 3)
⎡
⎣
z − 1
2
2
z − 1
⎤
⎦