12 Order Relations and Separability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
12.1 Canonical Order Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
12.2 Separability of the ISR-ADC Secular Matrix . . . . . . . . . . . . . . 181
12.3 A Look at the CI Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Part IV N-Electron Excitations
13 Polarization Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
13.1 Definition and Physical Significance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
13.2 Diagrammatic Perturbation Theory for the Polarization
Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
14 ADC and ISR Approaches to the Polarization Propagator . . . . . . . 205
14.1 General Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
14.2 Explicit ADC Schemes for the Polarization Propagator . . . . . . . 208
14.3 Properties of the ISR-ADC Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
15 Random-Phase Approximation (RPA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
15.1 Derivation and Properties of the RPA Equations . . . . . . . . . . . . 224
15.2 ADC Formulation of the RPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Part V A Look at Related Methods
16 Algebraic Propagator Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
16.1 Equations-of-Motion (EOM) Method for N Æ 1 Electrons . . . . . 241
16.2 A State Representation of the EOM Secular Equations . . . . . . . 246
16.3 EOM Treatment of N-Electron Excitations . . . . . . . . . . . . . . . . 249
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
17 Coupled-Cluster Methods for Generalized Excitations . . . . . . . . . . 255
17.1 Ground-State Coupled-Cluster Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . 255
17.2 Biorthogonal Coupled-Cluster Representation . . . . . . . . . . . . . . 257
17.3 Order Relations and Separability Properties . . . . . . . . . . . . . . . 262
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
A.1 Basic Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
A.2 Proof of the Gell-Mann and Low Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
A.3 Proof of Wick’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
A.4 Time-Ordered Diagrams: Derivation of Goldstone Rules . . . . . . . . . 287
A.5 Dyson Expansion Method for the Static Self-Energy Part . . . . . . . . 295
Contents
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12.1 Canonical Order Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
12.2 Separability of the ISR-ADC Secular Matrix . . . . . . . . . . . . . . 181
12.3 A Look at the CI Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
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Part IV N-Electron Excitations
13 Polarization Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
13.1 Definition and Physical Significance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
13.2 Diagrammatic Perturbation Theory for the Polarization
Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
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14 ADC and ISR Approaches to the Polarization Propagator . . . . . . . 205
14.1 General Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
14.2 Explicit ADC Schemes for the Polarization Propagator . . . . . . . 208
14.3 Properties of the ISR-ADC Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
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15 Random-Phase Approximation (RPA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
15.1 Derivation and Properties of the RPA Equations . . . . . . . . . . . . 224
15.2 ADC Formulation of the RPA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
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Part V A Look at Related Methods
16 Algebraic Propagator Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
16.1 Equations-of-Motion (EOM) Method for N Æ 1 Electrons . . . . . 241
16.2 A State Representation of the EOM Secular Equations . . . . . . . 246
16.3 EOM Treatment of N-Electron Excitations . . . . . . . . . . . . . . . . 249
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17 Coupled-Cluster Methods for Generalized Excitations . . . . . . . . . . 255
17.1 Ground-State Coupled-Cluster Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . 255
17.2 Biorthogonal Coupled-Cluster Representation . . . . . . . . . . . . . . 257
17.3 Order Relations and Separability Properties . . . . . . . . . . . . . . . 262
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
A.1 Basic Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
A.2 Proof of the Gell-Mann and Low Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
A.3 Proof of Wick’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
A.4 Time-Ordered Diagrams: Derivation of Goldstone Rules . . . . . . . . . 287
A.5 Dyson Expansion Method for the Static Self-Energy Part . . . . . . . . 295
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