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14 • Fonctions harmoniques
Théorème 14.2.6. (Théorème de Harnack). Soient U un ouvert de C et (f n ) n une
suite de fonctions harmoniques dans U .
(i) Si la suite (f n ) n converge uniformément sur tout compact de U , sa limite f est
harmonique dans U .
(ii) Si U est connnexe et si la suite (f n ) n est à valeurs réelles et croissante, alors ou
(f n ) n converge uniformément sur tout compact de U ou, pour tout z ∈ U , f n (z)
tend vers +∞ quand n tend vers +∞.
Démonstration. (i) Les f n possèdent la propriété de moyenne et convergent uniformément vers f sur tout disque fermé contenu dans U . On en déduit que f possède la
propriété de moyenne dans U , donc f ∈ Har(U ) (14.2.5).
(ii) Quitte à remplacer f n par f n − f 1 , on peut supposer les f n à valeurs positives ou
nulles. La suite (f n ) n étant croissante, pour tout z ∈ U , la suite
f n (z)
n
a une limite
f (z) ∈ R + ∪ {+∞}. Posons :
V = {z ∈ U ; f (z) < +∞} , W = {z ∈ U ; f (z) = +∞}.
En appliquant les inégalités de Harnack (14.2.5) aux f n , on voit que V et W sont
ouverts dans U . Par suite, ou W = U , ou f (z) < +∞ pour tout z ∈ U . Supposons
que l’on soit dans ce dernier cas. Si D (a, r) ⊂ U et si m n, les inégalités de
Harnack montrent à nouveau que
0 f n (z) − f m (z)
r + |z − a|
r − |z − a|
f n (a) − f m (a)
si |z − a| < r. Par conséquent, la suite (f n ) n converge uniformément dans tout disque
D (a, ρ), avec ρ < r. D’où le résultat.
EXERCICES
Exercice 14.1. Soit U = {z ∈ C ; Re(z) > 0}. Déterminer les applications de classe
C 2 de R ∗
+ dans R telles que
u : U → R , (x, y) → f
x 2 + y 2
x
soit harmonique dans U .
Exercice 14.2. a) Soient D = D(0, 1) et u : D → R continue et harmonique dans D.
Si |z| < 1, on pose :
g(z) =
1
2π
2π
0
e it + z
e it − z
u(e
it ) dt.
Prouver que g ∈ H(U ) et que Re(g) = u.