© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
14.2 Représentation intégrale
183
que |ζ −w| δ pour tout w ∈ K dès que ζ ∈ V . On en déduit que, si z ∈ V ∩D(0, r)
et ϕ ∈ [ϕ 0 − π, ϕ 0 − η] ∪ [ϕ 0 + η, ϕ 0 + π], on a :
0 P (z, re
iϕ )
r 2 − |z| 2
δ 2
·
Si M > 0 vérifie |p(ζ)| M pour tout ζ ∈ C(0, r), pour z ∈ V ∩ D(0, r), il vient
alors :
ϕ0−η
ϕ0−π
P (z, re
iϕ )|p(re
iϕ ) − p(re
iϕ0
| dϕ
2πM (r 2 − |z| 2 )
δ 2
,
ϕ0+π
ϕ0+η
P (z, re
iϕ )|p(re
iϕ ) − p(re
iϕ0
| dϕ
2πM (r 2 − |z| 2 )
δ 2
·
Tout ce qui précède montre que f (z) tend vers p(re iϕ0 ) quand z tend vers re iϕ . On a
prouvé que f est continue dans D (0, r).
Corollaire 14.2.3. (Formule de Poisson). Soient a ∈ C, r > 0, et f une fonction
continue sur D (a, r) et harmonique dans D(a, r). Si |z| < r, on a :
f (z) =
1
2π
2π
0
P (z, a + re
iϕ )f (a + re
iϕ ) dϕ.
Corollaire 14.2.4. (Inégalités de Harnack). Soient a ∈ C, r > 0, U un ouvert contenant D (a, r), et f ∈ Har(U ), à valeurs réelles positives ou nulles. Si |z − a| < r,
on a :
r − |z − a|
r + |z − a|
f (a) f (z)
r + |z − a|
r − |z − a|
f (a).
Démonstration. Le noyau de Poisson P (z, w) relatif à D(a, r) vérifie :
r − |z − a|
r + |z − a|
P (z, a + re
iϕ )
r + |z − a|
r − |z − a|
·
Comme f est à valeurs positives ou nulles, il suffit d’appliquer 14.2.3 pour obtenir le
résultat.
Théorème 14.2.5. Soient U un ouvert de C et f une fonction continue sur U . Les
conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f ∈ Har(U ).
(ii) f possède la propriété de moyenne dans U .
Démonstration. (i) ⇒ Cela a été vu en 14.1.7.
(ii) ⇒ (i) Soient a ∈ U et r > 0 tels que D (a, r) ⊂ U . Notons g la solution
du problème de Dirichlet relative au disque D(a, r) et à f . La fonction g vérifie la
propriété de moyenne dans D(a, r) (14.1.7). Il en est de même de f − g. Par suite,
f − g vérifie le principe du maximum (7.2.4). Comme f − g est nulle sur C(a, r), on
a f (z) = g(z) pour tout z ∈ D(a, r) (7.2.5). D’où f ∈ Har(U ).
14.2 Représentation intégrale
183
que |ζ −w| δ pour tout w ∈ K dès que ζ ∈ V . On en déduit que, si z ∈ V ∩D(0, r)
et ϕ ∈ [ϕ 0 − π, ϕ 0 − η] ∪ [ϕ 0 + η, ϕ 0 + π], on a :
0 P (z, re
iϕ )
r 2 − |z| 2
δ 2
·
Si M > 0 vérifie |p(ζ)| M pour tout ζ ∈ C(0, r), pour z ∈ V ∩ D(0, r), il vient
alors :
ϕ0−η
ϕ0−π
P (z, re
iϕ )|p(re
iϕ ) − p(re
iϕ0
| dϕ
2πM (r 2 − |z| 2 )
δ 2
,
ϕ0+π
ϕ0+η
P (z, re
iϕ )|p(re
iϕ ) − p(re
iϕ0
| dϕ
2πM (r 2 − |z| 2 )
δ 2
·
Tout ce qui précède montre que f (z) tend vers p(re iϕ0 ) quand z tend vers re iϕ . On a
prouvé que f est continue dans D (0, r).
Corollaire 14.2.3. (Formule de Poisson). Soient a ∈ C, r > 0, et f une fonction
continue sur D (a, r) et harmonique dans D(a, r). Si |z| < r, on a :
f (z) =
1
2π
2π
0
P (z, a + re
iϕ )f (a + re
iϕ ) dϕ.
Corollaire 14.2.4. (Inégalités de Harnack). Soient a ∈ C, r > 0, U un ouvert contenant D (a, r), et f ∈ Har(U ), à valeurs réelles positives ou nulles. Si |z − a| < r,
on a :
r − |z − a|
r + |z − a|
f (a) f (z)
r + |z − a|
r − |z − a|
f (a).
Démonstration. Le noyau de Poisson P (z, w) relatif à D(a, r) vérifie :
r − |z − a|
r + |z − a|
P (z, a + re
iϕ )
r + |z − a|
r − |z − a|
·
Comme f est à valeurs positives ou nulles, il suffit d’appliquer 14.2.3 pour obtenir le
résultat.
Théorème 14.2.5. Soient U un ouvert de C et f une fonction continue sur U . Les
conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f ∈ Har(U ).
(ii) f possède la propriété de moyenne dans U .
Démonstration. (i) ⇒ Cela a été vu en 14.1.7.
(ii) ⇒ (i) Soient a ∈ U et r > 0 tels que D (a, r) ⊂ U . Notons g la solution
du problème de Dirichlet relative au disque D(a, r) et à f . La fonction g vérifie la
propriété de moyenne dans D(a, r) (14.1.7). Il en est de même de f − g. Par suite,
f − g vérifie le principe du maximum (7.2.4). Comme f − g est nulle sur C(a, r), on
a f (z) = g(z) pour tout z ∈ D(a, r) (7.2.5). D’où f ∈ Har(U ).