XII
Analyse complexe pour la Licence 3
Le chapitre 6 est fondamental. On y montre qu’une fonction est dérivable (on dit aussi
holomorphe) si et seulement si elle est localement développable en série entière. C’est
là une énorme différence avec le cas réel déjà vu par l’étudiant.
Dans les chapitres 7 et 8, on utilise la théorie de Cauchy locale pour obtenir les
principales propriétés des fonctions holomorphes ou méromorphes. On y démontre,
par exemple, la fameuse formule des résidus (dans des cas particuliers) qui permettra,
et c’est parfois ce qui impressionne l’étudiant, de calculer des intégrales.
Les chapitres 9 et 11 sont consacrés à l’étude des produits infinis. C’est une notion très
intéressante, mais aussi plus délicate que celle de série. Au chapitre 11, on montre en
particulier l’existence de fonctions holomorphes ayant des zéros imposés.
Au chapitre 10, on traite, dans un cadre plus général, des questions vues dans les chapitres 7 et 8. On introduit en particulier la notion d’homotopie (on essaie de déformer
des courbes de manière continue).
Le chapitre 12 est consacré d’une part à des questions topologiques (théorème de
Montel) et d’autre part à la représentation conforme (théorème de Riemann). On y
démontre en particulier à quelle condition deux ouverts de C sont analytiquement
isomorphes.
Au chapitre 13, on démontre trois résultats fameux : deux théorèmes de Picard et le
théorème de Runge. Les deux premiers sont spectaculaires, le troisième est fondamental en ce qui concerne l’approximation des fonctions.
Au chapitre 14, on aborde l’étude des fonctions harmoniques de deux variables réelles.
Ces fonctions sont très utilisées dans de nombreux domaines scientifiques. On prouve
en particulier qu’une telle fonction est indéfiniment différentiable.
Le chapitre 15 donne quelques méthodes (en nombre très limité) de calculs d’intégrales en utilisant la formule des résidus. Nous renvoyons cependant le lecteur à des
livres d’exercices (ou à des séances de travaux dirigés) pour ce qui concerne ce point.
Comme nous l’avons déjà précisé, ce livre, qui se veut d’un niveau relativement élémentaire, n’aborde que quelques aspects de la théorie des fonctions holomorphes.
Nous n’avons en particulier traité que le cas des fonctions holomorphes d’une variable.
Pour l’étudiant qui veut se spécialiser dans ce domaine, il peut être une introduction à
des ouvrages de niveau plus élevé. Nous conseillons en particulier les livres [4], [6],
[8], [9], [10] de la bibliographie.
Signalons aussi que le contenu de cet ouvrage couvre entièrement la partie du programme de l’agrégation de mathématiques qui concerne les fonctions holomorphes.
Analyse complexe pour la Licence 3
Le chapitre 6 est fondamental. On y montre qu’une fonction est dérivable (on dit aussi
holomorphe) si et seulement si elle est localement développable en série entière. C’est
là une énorme différence avec le cas réel déjà vu par l’étudiant.
Dans les chapitres 7 et 8, on utilise la théorie de Cauchy locale pour obtenir les
principales propriétés des fonctions holomorphes ou méromorphes. On y démontre,
par exemple, la fameuse formule des résidus (dans des cas particuliers) qui permettra,
et c’est parfois ce qui impressionne l’étudiant, de calculer des intégrales.
Les chapitres 9 et 11 sont consacrés à l’étude des produits infinis. C’est une notion très
intéressante, mais aussi plus délicate que celle de série. Au chapitre 11, on montre en
particulier l’existence de fonctions holomorphes ayant des zéros imposés.
Au chapitre 10, on traite, dans un cadre plus général, des questions vues dans les chapitres 7 et 8. On introduit en particulier la notion d’homotopie (on essaie de déformer
des courbes de manière continue).
Le chapitre 12 est consacré d’une part à des questions topologiques (théorème de
Montel) et d’autre part à la représentation conforme (théorème de Riemann). On y
démontre en particulier à quelle condition deux ouverts de C sont analytiquement
isomorphes.
Au chapitre 13, on démontre trois résultats fameux : deux théorèmes de Picard et le
théorème de Runge. Les deux premiers sont spectaculaires, le troisième est fondamental en ce qui concerne l’approximation des fonctions.
Au chapitre 14, on aborde l’étude des fonctions harmoniques de deux variables réelles.
Ces fonctions sont très utilisées dans de nombreux domaines scientifiques. On prouve
en particulier qu’une telle fonction est indéfiniment différentiable.
Le chapitre 15 donne quelques méthodes (en nombre très limité) de calculs d’intégrales en utilisant la formule des résidus. Nous renvoyons cependant le lecteur à des
livres d’exercices (ou à des séances de travaux dirigés) pour ce qui concerne ce point.
Comme nous l’avons déjà précisé, ce livre, qui se veut d’un niveau relativement élémentaire, n’aborde que quelques aspects de la théorie des fonctions holomorphes.
Nous n’avons en particulier traité que le cas des fonctions holomorphes d’une variable.
Pour l’étudiant qui veut se spécialiser dans ce domaine, il peut être une introduction à
des ouvrages de niveau plus élevé. Nous conseillons en particulier les livres [4], [6],
[8], [9], [10] de la bibliographie.
Signalons aussi que le contenu de cet ouvrage couvre entièrement la partie du programme de l’agrégation de mathématiques qui concerne les fonctions holomorphes.