Avant-propos
Les résultats concernant la théorie des fonctions holomorphes d’une ou plusieurs variables complexes sont très nombreux, car c’est une théorie relativement ancienne (et
la recherche dans ce domaine des mathématiques est toujours très active). Pour aborder
cette théorie, l’étudiant aura intérêt à procéder par étapes. Ce livre peut être vu comme
la première de ces étapes. Donnons quelques explications à ce sujet.
Les connaisances pour aborder la lecture de l’ouvrage sont plutôt modestes. En ce qui
concerne la topologie, on ne demande de connaître que les propriétés élémentaires des
compacts et des connexes de C. Pour l’intégration, à l’exception d’un complément
donné au chapitre 7 (et qui n’est pas utilisé dans la suite de l’ouvrage), on n’a utilisé
que les propriétés élémentaires de l’intégrale au sens de Riemann. En ce qui concerne
le calcul différentiel, il n’est quasiment utilisé que la notion d’application différentiable. Il en résulte qu’un étudiant de troisième année de Licence dispose de toute la
matière nécessaire pour aborder la lecture du livre. Donnons quelques détails quant à
son contenu.
Les chapitres 1 à 3 constituent des révisions concernant un programme usuel de Licence. On y traite de séries numériques, de séries de fonctions, et de séries entières. Il
nous semble en effet opportun de rappeler les points essentiels concernant ces notions
(par exemple la définition du rayon de convergence d’une série entière).
Le chapitre 4 traite des fonctions analytiques. Bien que ne présentant aucune difficulté,
on obtient déjà des résultats importants (principe du prolongement analytique, principe
des zéros isolés).
Au chapitre 5, on généralise la notion de dérivabilité au cas des fonctions d’une variable complexe. Il est aussi question des déterminations continues de l’argument, un
point qui sera essentiel dans d’autres chapitres.
Les résultats concernant la théorie des fonctions holomorphes d’une ou plusieurs variables complexes sont très nombreux, car c’est une théorie relativement ancienne (et
la recherche dans ce domaine des mathématiques est toujours très active). Pour aborder
cette théorie, l’étudiant aura intérêt à procéder par étapes. Ce livre peut être vu comme
la première de ces étapes. Donnons quelques explications à ce sujet.
Les connaisances pour aborder la lecture de l’ouvrage sont plutôt modestes. En ce qui
concerne la topologie, on ne demande de connaître que les propriétés élémentaires des
compacts et des connexes de C. Pour l’intégration, à l’exception d’un complément
donné au chapitre 7 (et qui n’est pas utilisé dans la suite de l’ouvrage), on n’a utilisé
que les propriétés élémentaires de l’intégrale au sens de Riemann. En ce qui concerne
le calcul différentiel, il n’est quasiment utilisé que la notion d’application différentiable. Il en résulte qu’un étudiant de troisième année de Licence dispose de toute la
matière nécessaire pour aborder la lecture du livre. Donnons quelques détails quant à
son contenu.
Les chapitres 1 à 3 constituent des révisions concernant un programme usuel de Licence. On y traite de séries numériques, de séries de fonctions, et de séries entières. Il
nous semble en effet opportun de rappeler les points essentiels concernant ces notions
(par exemple la définition du rayon de convergence d’une série entière).
Le chapitre 4 traite des fonctions analytiques. Bien que ne présentant aucune difficulté,
on obtient déjà des résultats importants (principe du prolongement analytique, principe
des zéros isolés).
Au chapitre 5, on généralise la notion de dérivabilité au cas des fonctions d’une variable complexe. Il est aussi question des déterminations continues de l’argument, un
point qui sera essentiel dans d’autres chapitres.