Lady Ada King
sur n calculant les nombres de Be rnoulli
B; de proc he e n proche.
Pour n = 1 , 0 = A 0 + B I
donc 8 1 = - A 0 .
Pourn= 2,0 =A 0 +B 1 A 1 +8 2
donc 8 2 = - A 0 - B I A 1 .
Pour n = 3, 0 = A 0 + B I A 1 + B 2 A 2 + 8 3
donc 8 3 = - A 0 - B 1 A 1 - B 2 A 2 .
V 3 est initialisée avec n. Une autre boucle
de sommation est nécessa ire pour ajo uter à A 0 les A;B;. Le compte ur de cette
boucle est la variable V 10 .
Encore faut-il évaluer les A ; ! Pour ce faire,
e lle comme nce par ca lculer
1 211- l
.
211
A = - - - - pui s A
0
2 2n + 1'
1
2
Son évalu ation du coeffic ie nt A 1 n 'est
pas optimale, ma is e ll e se sert de la
valeur 2n déjà stockée dans une variable
lors de l'éva luatio n du coefficie nt A 0 .
Pour évalue r les A,, sui vants (où n > 2),
elle réécrit l'expression de A,, comme suit :
A
211 2n - 1 211 - 2
2
" = 2-3--4-···211
211- 1 211 - 2
2
= A - - - -
' 3
4
211
Elle construit donc une nouve lle boucle,
maté ri ali sée da ns son programme par
une accolade . Le numérate ur est initiali sé avec 2n - 1 et le dé nominate ur avec
3; à chaque itération , on divise le numérateur, diminué de 1, pa r le dénominate ur, a ugme nté de 1, et on le multiplie
avec le rés ulta t. Ce mo rcea u de programme est le sui vant s i la va ri a ble V I
conti e nt 1 , V 7 conti e nt 2, V 6 conti e nt
2n e t V 11 contie nt A 1 :
V6- V1-+V6
(Y 6 contient désorm ais 211 - 1 ),
V1+V 7 -+V7
( Y 7 contient désormais 2 + 1 = 3),
V6/ V7 -+Vs
(Y 8 contient désorm ais la nouvelle fraction ),
Vg X VI I -+ VII
(Y 11 contient le nouvea u prod uit) .
Les résultats des A; sont conservés dans
les variables V 11 , V 12 et V 13 alors que les
résultats des nombres de Be rnoulli utili sent les variabl e V 2 1' V 22 ,Y 23 ,V 24 ...
Ce p rog ra mm e est incroy a bl e me nt
moderne et abstrait (utilisation de variables .
bouc les, branchements). Ada avait bie n
co mpri s l' idée de ce que no us ap pelo ns
le branchement conditionnel (la poss ibilité qu' a un programme de sélectionner des instructions sui vant une condition).
Ell e s'est inté ressée à la no ti o n de calc ul abilité, fa isa nt la di stinction e nt re ce
qui est théoriquement possible de calcul er
de ce qui l'est en pratique. Enfin , elle avait
parfa ite me nt pe rçu l' inté rêt de la mécani sati o n du ca lc ul. Hé las, elle décédera
à la fl e ur de l'âge d ' un cancer et ses trava ux seront o ubliés pendant plu s d ' un
s ièc le . Ell e sera redécouve rte lo rs de
l'avène me nt des premiers ordinate urs;
un langage informat ique portera mê me
son nom .
J.-J. D.
Références
• Lady Ada et le premier ordinateur. Eugene Eric
Kim et Betty A lexa ndra Too le, Pour La Science
26 1. juillet 1999.
• Lady Augusta Ada King comtesse de Lovelace.
Bibliothèque Tan ge nte 37. Les algorithmes.
20 13.
•Informatique: la préhistoire est anglaise . Tan -
gente 137, 20 10 .
Tangente Hors-série n"52. Mathématiques & informatique
sur n calculant les nombres de Be rnoulli
B; de proc he e n proche.
Pour n = 1 , 0 = A 0 + B I
donc 8 1 = - A 0 .
Pourn= 2,0 =A 0 +B 1 A 1 +8 2
donc 8 2 = - A 0 - B I A 1 .
Pour n = 3, 0 = A 0 + B I A 1 + B 2 A 2 + 8 3
donc 8 3 = - A 0 - B 1 A 1 - B 2 A 2 .
V 3 est initialisée avec n. Une autre boucle
de sommation est nécessa ire pour ajo uter à A 0 les A;B;. Le compte ur de cette
boucle est la variable V 10 .
Encore faut-il évaluer les A ; ! Pour ce faire,
e lle comme nce par ca lculer
1 211- l
.
211
A = - - - - pui s A
0
2 2n + 1'
1
2
Son évalu ation du coeffic ie nt A 1 n 'est
pas optimale, ma is e ll e se sert de la
valeur 2n déjà stockée dans une variable
lors de l'éva luatio n du coefficie nt A 0 .
Pour évalue r les A,, sui vants (où n > 2),
elle réécrit l'expression de A,, comme suit :
A
211 2n - 1 211 - 2
2
" = 2-3--4-···211
211- 1 211 - 2
2
= A - - - -
' 3
4
211
Elle construit donc une nouve lle boucle,
maté ri ali sée da ns son programme par
une accolade . Le numérate ur est initiali sé avec 2n - 1 et le dé nominate ur avec
3; à chaque itération , on divise le numérateur, diminué de 1, pa r le dénominate ur, a ugme nté de 1, et on le multiplie
avec le rés ulta t. Ce mo rcea u de programme est le sui vant s i la va ri a ble V I
conti e nt 1 , V 7 conti e nt 2, V 6 conti e nt
2n e t V 11 contie nt A 1 :
V6- V1-+V6
(Y 6 contient désorm ais 211 - 1 ),
V1+V 7 -+V7
( Y 7 contient désormais 2 + 1 = 3),
V6/ V7 -+Vs
(Y 8 contient désorm ais la nouvelle fraction ),
Vg X VI I -+ VII
(Y 11 contient le nouvea u prod uit) .
Les résultats des A; sont conservés dans
les variables V 11 , V 12 et V 13 alors que les
résultats des nombres de Be rnoulli utili sent les variabl e V 2 1' V 22 ,Y 23 ,V 24 ...
Ce p rog ra mm e est incroy a bl e me nt
moderne et abstrait (utilisation de variables .
bouc les, branchements). Ada avait bie n
co mpri s l' idée de ce que no us ap pelo ns
le branchement conditionnel (la poss ibilité qu' a un programme de sélectionner des instructions sui vant une condition).
Ell e s'est inté ressée à la no ti o n de calc ul abilité, fa isa nt la di stinction e nt re ce
qui est théoriquement possible de calcul er
de ce qui l'est en pratique. Enfin , elle avait
parfa ite me nt pe rçu l' inté rêt de la mécani sati o n du ca lc ul. Hé las, elle décédera
à la fl e ur de l'âge d ' un cancer et ses trava ux seront o ubliés pendant plu s d ' un
s ièc le . Ell e sera redécouve rte lo rs de
l'avène me nt des premiers ordinate urs;
un langage informat ique portera mê me
son nom .
J.-J. D.
Références
• Lady Ada et le premier ordinateur. Eugene Eric
Kim et Betty A lexa ndra Too le, Pour La Science
26 1. juillet 1999.
• Lady Augusta Ada King comtesse de Lovelace.
Bibliothèque Tan ge nte 37. Les algorithmes.
20 13.
•Informatique: la préhistoire est anglaise . Tan -
gente 137, 20 10 .
Tangente Hors-série n"52. Mathématiques & informatique