l!OUR L'INFORMATIQUE
le pseudo-code du programme d'Ida
1 -> Bernoulli[o]
Pour n de 1 à n faire
o-> Somme
(2n- 1)/(2n+1) -> A[o]
A[o] + Bernoulli[o] -> Somme
Si n == 1 alors - Somme-> Bernoulli[1]
Pour i de 1 à n faire
# évaluation de A 0
#A;B; -> Somme
# B 1 = -A;B;
Si i == 1 alors n -> A[I]
Sinon
A[1] -> Produit
#A.= n
# Produit = A.
Pour j de o à 2(i- 1) fai re
Produit*(2n- 1- j)/ (3+D -> Produit
Produit -> A[i]
Somme+ A[i]*Bernoulli[i] -> Somme
Si i == n- 1 alors - Somme -> Bernoulli[z1
# Produit= A.(2n-1- j)/(3-j)
#A;= A.(2n-1)(2n-2) ... /3 /4 ...
# Somme = Somme + A;B;
# B;= - Somme
qui publiera un article en français, Notions
sur la machine analytique de Charles
Babbage . Ada lit , traduit et a nno te cet
article grâce aux échanges qu 'elle continu e d ' avo ir avec Ba bbage, pui s e ll e
publie ce tex te. li est tro is fo is plus lo ng
que ! ' article de Me nabrea, car augmenté
de sept notes. Ce sera pe ndant près d ' un
sièc le le seul artic le de ce genre.
Les notes d' Ada sont co nsac rées à la
programmation. En particulier, la dernière
déc rit un progra mme permettant de calc ul er les no mbres de Be rn o ulli : ce programme utili se to utes les poss ibilités de
la mac hine, comme les bra nc he me nts
cond itio nnels et les bo uc les. Il est bie n
plu s complexe q ue ceux qu i ava ie nt été
e nvisagés par Babbage, et reste considéré pa r beaucoup comme le pre m ie r
vra i programme de l' hi sto ire.
Les no mbres de Be rn o ulli B,, so nt des
co nsta ntes qu e l'on re ncontre lo rs d u
développe me nt e n polynô mes des fo nctio ns tri gonométriques . li s sont dé fini s
par le déve lo ppe me nt e n séri e e nti è re
de la fo ncti o n dé fini e qui a u rée l stricteme nt pos iti f x assoc ie x/(ex - 1).
Ma is ce so nt des fo rmu les de réc urre nce qui o n t é té à la b ase du p rogramme d ' Ada Lo ve lace. Ces de rniè res
so nt de la fo rme s ui va nte :
A 0 B 0 + A 1 B 1 + A 2 B 2 + ... + A,, B,, = 0 ,
avec les coeffic ie nts A ; qui pe uve nt
dé pe ndre den. La fo rmule de récurre nce
la pl us e mployée aujo urd ' hui est
" (17 + 1)
L
Bk = 0, mais e n son te mps Ada
k-0
k
Lovelace uti lisait l'équa tio n suivante:
0
_ _ _!_ 2x - 1 + 8
2x
- 2 2x + 1
1 2!
+ B, (2x)(2x - 1)(2x - 2) + ...
.
4!
+B (2x)(2x - 1) .. . (2x - 211 + 2)
"
(2 11 )!
o ù e ll e posait x = n.
On o btie nt alo rs e n effet :
A = (211)(211- 1) .. . (211- 211 + 2) = (211)! = I
"
(211)!
(211)!
e t
A
= (211 )(2n- l) .. . (0) ... (-2p + 2) = O.
,,.,,
(2 11 ) 1
Ada utili se des vari ables Y 1 , V 2 ... recevant les va le urs. V I est initi a li sée avec
1. V 2 avec 2. Le prog ramme qu 'e ll e
conço it est une g rande bo uc le itérant
Hors-serie n• 52. Mathématiques & informatique Tangente
le pseudo-code du programme d'Ida
1 -> Bernoulli[o]
Pour n de 1 à n faire
o-> Somme
(2n- 1)/(2n+1) -> A[o]
A[o] + Bernoulli[o] -> Somme
Si n == 1 alors - Somme-> Bernoulli[1]
Pour i de 1 à n faire
# évaluation de A 0
#A;B; -> Somme
# B 1 = -A;B;
Si i == 1 alors n -> A[I]
Sinon
A[1] -> Produit
#A.= n
# Produit = A.
Pour j de o à 2(i- 1) fai re
Produit*(2n- 1- j)/ (3+D -> Produit
Produit -> A[i]
Somme+ A[i]*Bernoulli[i] -> Somme
Si i == n- 1 alors - Somme -> Bernoulli[z1
# Produit= A.(2n-1- j)/(3-j)
#A;= A.(2n-1)(2n-2) ... /3 /4 ...
# Somme = Somme + A;B;
# B;= - Somme
qui publiera un article en français, Notions
sur la machine analytique de Charles
Babbage . Ada lit , traduit et a nno te cet
article grâce aux échanges qu 'elle continu e d ' avo ir avec Ba bbage, pui s e ll e
publie ce tex te. li est tro is fo is plus lo ng
que ! ' article de Me nabrea, car augmenté
de sept notes. Ce sera pe ndant près d ' un
sièc le le seul artic le de ce genre.
Les notes d' Ada sont co nsac rées à la
programmation. En particulier, la dernière
déc rit un progra mme permettant de calc ul er les no mbres de Be rn o ulli : ce programme utili se to utes les poss ibilités de
la mac hine, comme les bra nc he me nts
cond itio nnels et les bo uc les. Il est bie n
plu s complexe q ue ceux qu i ava ie nt été
e nvisagés par Babbage, et reste considéré pa r beaucoup comme le pre m ie r
vra i programme de l' hi sto ire.
Les no mbres de Be rn o ulli B,, so nt des
co nsta ntes qu e l'on re ncontre lo rs d u
développe me nt e n polynô mes des fo nctio ns tri gonométriques . li s sont dé fini s
par le déve lo ppe me nt e n séri e e nti è re
de la fo ncti o n dé fini e qui a u rée l stricteme nt pos iti f x assoc ie x/(ex - 1).
Ma is ce so nt des fo rmu les de réc urre nce qui o n t é té à la b ase du p rogramme d ' Ada Lo ve lace. Ces de rniè res
so nt de la fo rme s ui va nte :
A 0 B 0 + A 1 B 1 + A 2 B 2 + ... + A,, B,, = 0 ,
avec les coeffic ie nts A ; qui pe uve nt
dé pe ndre den. La fo rmule de récurre nce
la pl us e mployée aujo urd ' hui est
" (17 + 1)
L
Bk = 0, mais e n son te mps Ada
k-0
k
Lovelace uti lisait l'équa tio n suivante:
0
_ _ _!_ 2x - 1 + 8
2x
- 2 2x + 1
1 2!
+ B, (2x)(2x - 1)(2x - 2) + ...
.
4!
+B (2x)(2x - 1) .. . (2x - 211 + 2)
"
(2 11 )!
o ù e ll e posait x = n.
On o btie nt alo rs e n effet :
A = (211)(211- 1) .. . (211- 211 + 2) = (211)! = I
"
(211)!
(211)!
e t
A
= (211 )(2n- l) .. . (0) ... (-2p + 2) = O.
,,.,,
(2 11 ) 1
Ada utili se des vari ables Y 1 , V 2 ... recevant les va le urs. V I est initi a li sée avec
1. V 2 avec 2. Le prog ramme qu 'e ll e
conço it est une g rande bo uc le itérant
Hors-serie n• 52. Mathématiques & informatique Tangente