HS5201123456789 12 - J 234567890 X 1234567892
= 1234567891 2 - (1 234567891 2 - 1) = l.
On en déduit l'expression demandée, égale à
123 467 890.
HS5202 - Si n ~ 2k - 1, il ex iste une stratégie
optimale permettant de trouver le nombre à
coup sûr. On procède par dichotomie, en proposant systématique ment le nombre situé au
milieu de l' intervalle considéré. Si n > 2k - 1,
on procède de même, avec une probabilité de
trou ver le nombre cherché égale à (2k - 1) / n.
HS5203 - Si A di sait la vérité, B et C menti -
raie nt tous les deux, ce qui entraînerait une
contradiction. Donc A est informaticien. On
en déduit que C , qui dit la vérité, est mathématicien et que 8 est informaticien.
HS5204 - Si D ment, F et E sont mathémati -
c iens, et on aboutit à une contradictio n pour D
qui ne peut être mathématicien et mentir. Si D
dit la vérité, F ment et E est info rmaticien. Il
ment bien pui sque D et F ne sont pas tous deux
mathématiciens. Do nc D est mathématicien et
E et F sont informaticiens.
HS5205 - 16 multiplications suffise nt :
20 14
2014 = (((((((20]4 X 201 4 X 20 14)3)2)2 X
20 14) 3 ) 3 X 20142) 3 X 20 142)2.
HS5206 - Si a, b, c sont les tro is chiffres
cherchés , le total des six nombres est égal à
222(a + b + c). La somme des tro is chi ffres
peut prendre toutes les va leurs entihes de 6
à 24, soit di x- neuf valeurs. Seules les treize
sui vantes utili sent troi s chiffres di stincts non
nul s : 1332, 1554, 1776, 1998, 2664, 2886,
3552, 3774, 3996 4662, 4884, 5772, 5994.
T ro is sont des solutions au problè me posé :
1332=(1 +2+3) x 222 2664= (2+4+6) x222et
3996 = (3 + 6 + 9) X 222.
HS5207- L' ordinateur peut calculer l'ensemble
des multiples de 0 ,01. Il peut donc obtenir,
1000, !0000, 100000, etc. et leurs inverses,
donc to us les no mbres déc im aux stri ctement positifs, pui s, en in versant les no mbres
entiers non nul s et en les additi onnant, tous les
par Michel Criton
no mbres rationne ls strictement pos iti fs .
HS5208- Si (../2 + 1 )" =a + b../2 où a , b et n sont
des entiers stricteme nt pos iti fs , 0 < c../2 - 1)
" < 0.5. On a donc :
2a < (../2 + ] )" + (../2 - I)" < 2a + 0 ,5 et
2b - 0 ,5 < ( ../2 + 1 )" - ( ../2 - 1 )" < 2b.
On en déduit la pro priété demandée.
HS5209 - Le no mbre (3 + ../8)" + (3 - ../8)" est
un nombre entier. O r le second terme de cette
somme tend rapidement ve rs O quand n augmente. On en déduit que (3 + ../8)" te nd rapidement vers un nombre entier quand n tend vers
l' infini . On fa it le même raisonnement avec
4 + ../15 et avec tous les nombres de la forme
a + ../(a
2 - 1).
HS5210 - Un essai à partir de (presque) n' importe que l no mbre a saisi sur une ca lculatrice sc ienti fi que à huit chiffres, donne, après
au plus tro is appui s successifs sur la touche
COS, 0 ,9998477 . En
effet, - 1 < cos a < 1 ,
et cos est cro issante
entre - 1 et O pui s
décroissante entre O
et 1. Donc, dans les
deux cas, 0 ,9998476
951 < cos(cosa
0
)
<
1. En ité rant, o n
obtient : 0,999847695
I < cos(cos(cosa
0
))
< 0 ,99984774 16.
HS5211 - En choisissant les bonbons tou r à
tour, on a 9! / (3!)3 = 1680 choix possibles.
Il fa ut déd uire de ces cho ix les cas où troi s
bonbons ayant le même arôme se sui vent. Le
premier de ces trois bonbons peut occuper
sept places d iffé rentes et il reste vingt choix
pour les six autres bo nbons. Ce fa isant, on
enlève deux fo is les cas où il y a deux séries
d ' arômes et trois fois ceux il y a trois séries de
trois arômes identiques qui se sui vent. Il fa ut
donc les rajo ute r. Un peu de dénom brement
montre que le no mbre demandé est égal à
1680 - 420 + 42 + 12, so it 1314 possibilités.
Tangente Hors-série n°52. Mathématiques & informatique
= 1234567891 2 - (1 234567891 2 - 1) = l.
On en déduit l'expression demandée, égale à
123 467 890.
HS5202 - Si n ~ 2k - 1, il ex iste une stratégie
optimale permettant de trouver le nombre à
coup sûr. On procède par dichotomie, en proposant systématique ment le nombre situé au
milieu de l' intervalle considéré. Si n > 2k - 1,
on procède de même, avec une probabilité de
trou ver le nombre cherché égale à (2k - 1) / n.
HS5203 - Si A di sait la vérité, B et C menti -
raie nt tous les deux, ce qui entraînerait une
contradiction. Donc A est informaticien. On
en déduit que C , qui dit la vérité, est mathématicien et que 8 est informaticien.
HS5204 - Si D ment, F et E sont mathémati -
c iens, et on aboutit à une contradictio n pour D
qui ne peut être mathématicien et mentir. Si D
dit la vérité, F ment et E est info rmaticien. Il
ment bien pui sque D et F ne sont pas tous deux
mathématiciens. Do nc D est mathématicien et
E et F sont informaticiens.
HS5205 - 16 multiplications suffise nt :
20 14
2014 = (((((((20]4 X 201 4 X 20 14)3)2)2 X
20 14) 3 ) 3 X 20142) 3 X 20 142)2.
HS5206 - Si a, b, c sont les tro is chiffres
cherchés , le total des six nombres est égal à
222(a + b + c). La somme des tro is chi ffres
peut prendre toutes les va leurs entihes de 6
à 24, soit di x- neuf valeurs. Seules les treize
sui vantes utili sent troi s chiffres di stincts non
nul s : 1332, 1554, 1776, 1998, 2664, 2886,
3552, 3774, 3996 4662, 4884, 5772, 5994.
T ro is sont des solutions au problè me posé :
1332=(1 +2+3) x 222 2664= (2+4+6) x222et
3996 = (3 + 6 + 9) X 222.
HS5207- L' ordinateur peut calculer l'ensemble
des multiples de 0 ,01. Il peut donc obtenir,
1000, !0000, 100000, etc. et leurs inverses,
donc to us les no mbres déc im aux stri ctement positifs, pui s, en in versant les no mbres
entiers non nul s et en les additi onnant, tous les
par Michel Criton
no mbres rationne ls strictement pos iti fs .
HS5208- Si (../2 + 1 )" =a + b../2 où a , b et n sont
des entiers stricteme nt pos iti fs , 0 < c../2 - 1)
" < 0.5. On a donc :
2a < (../2 + ] )" + (../2 - I)" < 2a + 0 ,5 et
2b - 0 ,5 < ( ../2 + 1 )" - ( ../2 - 1 )" < 2b.
On en déduit la pro priété demandée.
HS5209 - Le no mbre (3 + ../8)" + (3 - ../8)" est
un nombre entier. O r le second terme de cette
somme tend rapidement ve rs O quand n augmente. On en déduit que (3 + ../8)" te nd rapidement vers un nombre entier quand n tend vers
l' infini . On fa it le même raisonnement avec
4 + ../15 et avec tous les nombres de la forme
a + ../(a
2 - 1).
HS5210 - Un essai à partir de (presque) n' importe que l no mbre a saisi sur une ca lculatrice sc ienti fi que à huit chiffres, donne, après
au plus tro is appui s successifs sur la touche
COS, 0 ,9998477 . En
effet, - 1 < cos a < 1 ,
et cos est cro issante
entre - 1 et O pui s
décroissante entre O
et 1. Donc, dans les
deux cas, 0 ,9998476
951 < cos(cosa
0
)
<
1. En ité rant, o n
obtient : 0,999847695
I < cos(cos(cosa
0
))
< 0 ,99984774 16.
HS5211 - En choisissant les bonbons tou r à
tour, on a 9! / (3!)3 = 1680 choix possibles.
Il fa ut déd uire de ces cho ix les cas où troi s
bonbons ayant le même arôme se sui vent. Le
premier de ces trois bonbons peut occuper
sept places d iffé rentes et il reste vingt choix
pour les six autres bo nbons. Ce fa isant, on
enlève deux fo is les cas où il y a deux séries
d ' arômes et trois fois ceux il y a trois séries de
trois arômes identiques qui se sui vent. Il fa ut
donc les rajo ute r. Un peu de dénom brement
montre que le no mbre demandé est égal à
1680 - 420 + 42 + 12, so it 1314 possibilités.
Tangente Hors-série n°52. Mathématiques & informatique