O n construit ainsi p
2 + p + 1 = M pin 's
à p + 1 = N trous parmi p2 + p + 1 = M
dents, ce qui est donc un jeu de pin 's
maximal.
Le cas n = ff + 1 où p premier, h > 1
O n peut observer à l'analyse qui précède que la seule chose dont on a besoin
pou r garantir l' intersection entre deux
droites quelconques à coeffic ients dans
une certai ne stru cture, c'est de garantir
l'ex istence d ' un inverse po ur c haque
élément , ce qui est caractéri stique de la
structure de corps fini. Ainsi , à la section précédente, NP joue en fa it le rôle
du corps à p é léments noté "11. . !p"ll...
Comme il ex iste un corps à/ é léments,
on va pouvo ir construire un te l plan,
mais il ne s'ag ira pas de "11..!/"1!.. pui sque
par exemple le nombre p n 'y a pas d'inverse (c'est un diviseur de zéro:
p • / -
1 = O mod Ji, "11. . !n"ll. . a une structure de corps si et seule me nt si n est
pre mi er).
Certain s candidats ont ain si pu constate r que le ur a lgorithme fonctionnant
pour N = 2, 3 et 6 ne fonctionnait pas
pourN=9(=2
3 + 1).
Pour éviter d'avoir à construire un corps,
on peut recourir à un log ic iel de calcul
fom1el tel que SAGE ; le code est presque
exacte ment le mê me que pour le cas
N = p + 1 (il suffit de changer la structure et de retirer un modulo p).
Cas général et dénouement
Ce n'est pas parce qu ' il n 'ex iste pas de
corps de cardinal q non primaire (pui ssance de nombre premier) qu ' il n 'existe
pas de plan projectif d 'ordre q, c'est-àdire à q2 + q + 1 points et droites et
q + 1 points par ligne . Mais leur ex istence est un problè me ouvert . Une é popée de calcul par ordinate ur menée à
Concordi a University par Clement Lam
CHANGER LE MONDE
Code SAGE résolvant le cas
N = ,1 + 1 où onremier, k> 1
N=9
q = N-1
Fq = GF(q, 'x')
points = [(x, y) for x in Fq for y in Fq] \
+ [('infini', k) for k in Fq] \
+ [('infini', 'infini')]
for a in Fq:
forb in Fq:
pins = "" # droite y = ax + b
for x, y in points :
pins += 'o' if (x == 'infini' and y== a) \
or (x != 'infini' and y== a * x + b) else' '
print(pins)
fora in Fq:
pins = "" # verticale x = c
for x, y in points :
pins+= 'o' if ((x, y)== ('infini', 'infini') or x == a) else''
print(pins)
pins = "" # infini
for x, y in points :
pins+= 'o' ifx == 'infini' else ''
print(pins)
de 1980 à 1989 a a in s i conduit à la
conclu sion qu ' il n 'en existe pas pour
q = 10 .
Seu les six personnes ont trou vé tous les
pin 's poss ibles, parmi lesque ls Ryan
Lahfa, qui avait 14 ans lors du déroulement du concours.
J.-J. V.
(0 ; 0) (0 ; 1) (1 ; 0) (1 ; 1)
y=O
0
•
0
•
y=l
•
0
•
0
y=x
0
• •
0
y=x+l
•
0
0
•
x=O
0
0
• •
x=l
• •
0
0
OO
• • • •
Figure 2.
Le classe ment est
di sponible sur
www.grolopin .corn.
000
001
OO
"'
0
• •
0
• •
•
0
•
•
0
•
• •
0
• •
0
0
0
0
Grille du plan projectif d 'ordre 2. Pour chaque droite,
on met un o en dessous des points par lesquels elle passe.
On voit ainsi apparaître un j eu de pin's maximal pour N = 3
(cf. le jeu admissible plus haut).
Hors-série n° 52. Mathématiques & informatique Tangente 131
2 + p + 1 = M pin 's
à p + 1 = N trous parmi p2 + p + 1 = M
dents, ce qui est donc un jeu de pin 's
maximal.
Le cas n = ff + 1 où p premier, h > 1
O n peut observer à l'analyse qui précède que la seule chose dont on a besoin
pou r garantir l' intersection entre deux
droites quelconques à coeffic ients dans
une certai ne stru cture, c'est de garantir
l'ex istence d ' un inverse po ur c haque
élément , ce qui est caractéri stique de la
structure de corps fini. Ainsi , à la section précédente, NP joue en fa it le rôle
du corps à p é léments noté "11. . !p"ll...
Comme il ex iste un corps à/ é léments,
on va pouvo ir construire un te l plan,
mais il ne s'ag ira pas de "11..!/"1!.. pui sque
par exemple le nombre p n 'y a pas d'inverse (c'est un diviseur de zéro:
p • / -
1 = O mod Ji, "11. . !n"ll. . a une structure de corps si et seule me nt si n est
pre mi er).
Certain s candidats ont ain si pu constate r que le ur a lgorithme fonctionnant
pour N = 2, 3 et 6 ne fonctionnait pas
pourN=9(=2
3 + 1).
Pour éviter d'avoir à construire un corps,
on peut recourir à un log ic iel de calcul
fom1el tel que SAGE ; le code est presque
exacte ment le mê me que pour le cas
N = p + 1 (il suffit de changer la structure et de retirer un modulo p).
Cas général et dénouement
Ce n'est pas parce qu ' il n 'ex iste pas de
corps de cardinal q non primaire (pui ssance de nombre premier) qu ' il n 'existe
pas de plan projectif d 'ordre q, c'est-àdire à q2 + q + 1 points et droites et
q + 1 points par ligne . Mais leur ex istence est un problè me ouvert . Une é popée de calcul par ordinate ur menée à
Concordi a University par Clement Lam
CHANGER LE MONDE
Code SAGE résolvant le cas
N = ,1 + 1 où onremier, k> 1
N=9
q = N-1
Fq = GF(q, 'x')
points = [(x, y) for x in Fq for y in Fq] \
+ [('infini', k) for k in Fq] \
+ [('infini', 'infini')]
for a in Fq:
forb in Fq:
pins = "" # droite y = ax + b
for x, y in points :
pins += 'o' if (x == 'infini' and y== a) \
or (x != 'infini' and y== a * x + b) else' '
print(pins)
fora in Fq:
pins = "" # verticale x = c
for x, y in points :
pins+= 'o' if ((x, y)== ('infini', 'infini') or x == a) else''
print(pins)
pins = "" # infini
for x, y in points :
pins+= 'o' ifx == 'infini' else ''
print(pins)
de 1980 à 1989 a a in s i conduit à la
conclu sion qu ' il n 'en existe pas pour
q = 10 .
Seu les six personnes ont trou vé tous les
pin 's poss ibles, parmi lesque ls Ryan
Lahfa, qui avait 14 ans lors du déroulement du concours.
J.-J. V.
(0 ; 0) (0 ; 1) (1 ; 0) (1 ; 1)
y=O
0
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y=l
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y=x
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x=O
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x=l
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OO
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Figure 2.
Le classe ment est
di sponible sur
www.grolopin .corn.
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001
OO
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Grille du plan projectif d 'ordre 2. Pour chaque droite,
on met un o en dessous des points par lesquels elle passe.
On voit ainsi apparaître un j eu de pin's maximal pour N = 3
(cf. le jeu admissible plus haut).
Hors-série n° 52. Mathématiques & informatique Tangente 131