Solutions
la série
+∞
n=1
ln(1 + a n ) est absolument convergente. En conséquence (voir
III.7.8), tout réarrangement de cette série converge vers la même somme.
Finalement, avec la remarque faite au début de la solution de ce problème,
tout réarrangement des facteurs du produit ne change pas sa valeur.
On suppose maintenant que la valeur du produit
+∞
n=1
(1+ a n ) ne dépend pas
de l’ordre de ses facteurs. Ceci signifie que la somme de la série
+∞
n=1
ln(1 + a n )
ne dépend pas non plus de l’ordre de ses termes. D’après le théorème de Riemann, la série converge absolument ce qui, avec (∗), implique la convergence
de
+∞
n=1
|a n |. Le résultat demandé est donc prouvé.
III.8.41. [20]. On pose R n =
3
2 ×
5
4 × . . . ×
2n+1
2n =
(2n+1)!!
(2n)!! . On a alors
R α =
1 +
1
2
1 +
1
4
· · ·
1 +
1
2α
,
1
R β
=
1 −
1
3
1 −
1
5
· · ·
1 −
1
2β + 1
.
Le (α + β)n-ième produit partiel est donc égal à
Rnα
R nβ
. D’après la formule de
Wallis (voir III.8.38), on a
lim
n→+∞
(2n + 1)!!
(2n)!!
√
n
=
2
√
π
,
d’où
lim
n→+∞
R nα
R nβ
=
α
β
.
III.8.42. Si le produit
+∞
n=1
(1 + a n ) converge, mais pas absolument, il en est
alors de même de la série
+∞
n=1
ln(1 + a n ) (voir la solution de III.8.40). D’après
le théorème de Riemann, ses termes peuvent être réarrangés pour donner soit
une série convergente dont la somme est un nombre réel donné S, soit une série divergente (vers +∞ ou −∞). La proposition se déduit donc de la relation
P = e S (voir la solution de III.8.40).
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