Chapitre III. Séries de nombres réels
En utilisant l’inégalité
2
π u < sin u < u pour 0 < u <
π
2 , on voit que
n
k=m+1
1 −
x 2
4k 2
< Q m,n < 1. Puisque que le produit
+∞
n=1
1 −
x 2
4n 2
converge, on a
+∞
k=m+1
1 −
x 2
4k 2
Q m 1.
En conséquence,
lim
m→+∞
Q m = 1.
(6)
Finalement, le résultat cherché se déduit de (4), (5) et (6).
(b) On applique (a) et l’identité sin 2x = 2 sin x cos x.
III.8.38. On remplace x par
π
2 dans la formule donnée en III.8.37 (a).
III.8.39.
(a) La convergence du produit donné est équivalente à celle de la série
+∞
n=1
ln
1 +
x
n
−
x
n
. La convergence absolue de cette série se déduit de
l’égalité
lim
n→+∞
ln
1 +
x
n
−
x
n
x 2
n 2
=
1
2
.
(b) On a
1 +
1
n
x
1 +
x
n
= 1 +
x(x − 1)
2n 2 + o
1
n 2
.
La convergence absolue du produit découle donc de III.8.3.
III.8.40. Clairement, le produit
+∞
n=1
(1 + a n ), a n > −1, converge si et seulement si la série
+∞
n=1
ln(1 + a n ) converge. De plus, si P est la valeur du produit
et S est la somme de la série, alors P = e S .
On suppose maintenant que le produit est absolument convergent. Étant
donnée l’égalité
lim
n→∞
|ln(1 + a n )|
|a n |
= 1 (car lim
n→∞
a n = 0),
(∗)
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