Chapitre II. Suites de nombres réels
D’après (3), avec x = n et α = n + 2,
1 + n
(n + 2)
2 <
√
n + 2
√ 1 + n.
Donc,
1 + (n − 1)
1 + n
(n + 2)
2 <
1 +
√
n + 2 (n − 1)
√
1 + n
< (n + 2)
1
4
1 + (n − 1)
√
n + 1,
la dernière inégalité se déduisant de (3) en prenant α =
√
n + 2. En répétant
n fois cet argument dans (1), on obtient
3 (n + 2)
2 −n
1 + 2
1 + 3
1 + . . .
1 + (n − 1)
√
n + 1.
(4)
La combinaison de (2) et (4) donne
lim
n→+∞
1 + 2
1 + 3
1 + . . .
1 + (n − 1)
√
n + 1 = 3.
II.5.47. L’équation x 2 + x − a = 0, a > 0, admet deux racines α et β avec
α > 0 > β. On a de plus
a n+1 − a n =
a
a n
− 1 − α =
a − a n − αa n
a n
=
a − (1 + α)(a n − α) − α(1 + α)
a n
=
−(1 + α)(a n − α)
a n
.
On a a n+1 − α = β
an−α
an car α + β = −1. De même, a n+1 − β = α
an−β
an . Donc,
a n+1 − β
a n+1 − α
=
α
β
a n − β
a n − α
et, par récurrence,
a n − β
a n − α
=
α
β
n−1 a 1 − β
a 1 − α
.
Puisque
α
β
=
α
1+α < 1, on obtient lim
n→+∞
α
β
n−1 = 0 et lim
n→+∞
a n = β.
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