Solutions
ce qui complète la démonstration de l’égalité. On a alors, par continuité de la
fonction sinus,
lim
n→∞
a n = 2 sin
π
4
+∞
k=1
ε 1 · · · ε k
2 k−1
.
II.5.43. On montre par récurrence que
Arctan
1
2
+ . . . + Arctan
1
2n 2 = Arctan
n
n + 1
.
Donc, lim
n→+∞
Arctan
1
2 + . . . + Arctan
1
2n 2
=
π
4 .
II.5.44. On a
sin
2
π
n 2 + n
= sin
2
π
n 2 + n − πn
= sin
2
π
1 +
1 +
1
n
− −−−− →
n→+∞
1.
II.5.45. On montre par récurrence que la suite est croissante et majorée, par
exemple par 3. Il s’agit donc d’une suite convergente dont la limite g vérifie
g =
2 +
√
3 + g et g ∈ ]2 , 3[.
II.5.46. [13]. On a
3 =
√ 1 + 2 × 4 =
1 + 2
√ 16 =
1 + 2
1 + 3
√ 25
=
1 + 2
1 + 3
1 + 4
√ 36,
et, par récurrence,
1 + 2
1 + 3
1 + . . .
1 + n
(n + 2)
2
= 3.
(1)
Donc,
3
1 + 2
1 + 3
1 + . . .
1 + (n − 1)
√
n + 1.
(2)
On va utiliser l’inégalité suivante (facile à prouver) :
√ 1 + xα
√
α
√
1 + x, x 0, α > 1.
(3)
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