Solutions
On considère maintenant le cas où
e a 1
a 2
= e. On a alors a 2 = e a 1 −1 a 1
et, par récurrence, a n+1 a n . De plus, si a 1 1, on peut aussi montrer par
récurrence que a n 1. Donc, dans un tel cas, lim
n→+∞
a n = 1. Si a 1 > 1, {a n }
est alors croissante et diverge vers +∞.
On considère enfin le cas où
e a 1
a 2
> e. L’équation (∗) admet deux solutions
que l’on note g 1 et g 2 , en prenant g 1 < g 2 . Supposons que a 1 < g 1 . On a alors
e
a 1 −
e a 1
a 2
a 1 > 0
ou, dit autrement, a 2 > a 1 . Il s’ensuit, par récurrence, que {a n } est croissante
et majorée par g 1 qui est sa limite. Si g 1 < a 1 < g 2 , alors {a n } est décroissante
et minorée par g 1 qui est aussi sa limite. Si a 1 = g 1 ou a 1 = g 2 , la suite est
alors constante. Finalement, si a 1 > g 2 , la suite croît vers +∞.
II.5.40. (Ce problème et sa solution sont dus à L. Euler dans un cas plus général. Voir aussi [13].) On montre, en dérivant, que ln x
x
e pour x > 0. Donc,
an
e ln a n = a n−1 ln a (n > 1) et, en conséquence, a n a n−1 ln a e . Si a > e
1
e ,
la suite {a n } est donc croissante. On montre que, dans ce cas, lim
n→+∞
a n = +∞.
On a a n+1 − a n = a an − a n . On considère donc, pour a > e
1
e , la fonction
g(x) = a x −x. Cette fonction atteint son minimum en x 0 = −
ln(ln a)
ln a < e. Il s’ensuit que a x − x >
1+ln(ln a)
ln a
> 0 et, en conséquence, a n+1 − a n >
1+ln(ln a)
ln a
> 0.
La différence entre deux termes consécutifs étant supérieure à un nombre strictement positif donné, la suite diverge vers +∞.
On considère maintenant le cas où 1 < a < e
1
e . On montre d’abord que,
dans ce cas, l’équation a x −x = 0 admet deux solutions positives. La dérivée de
la fonction g(x) = a x −x s’annule au point x 0 > 0 tel que a x 0 =
1
ln a . La fonction
g atteint sa valeur minimale en x 0 et g(x 0 ) = a x 0 −x 0 =
1
ln a −x 0 =
1−x 0 ln a
ln a
< 0
car, si 1 < a < e
1
e , alors
1
ln a > e. La fonction g étant continue sur R,
elle vérifie la propriété des valeurs intermédiaires. L’équation a x = x admet
donc une racine dans l’intervalle ]0 , x 0 [ et une autre racine dans l’intervalle
]x 0 , +∞[. On note ces racines respectivement α et β et on remarque que
g(e) = a e − e <
e
1
e
e − e = 0 ce qui implique que le nombre e se trouve
entre α et β.
Si x > β, alors a x > a β = β et g(x) > 0. Dans ce cas, la suite {a n } est
croissante et minorée par β donc lim
n→+∞
a n = +∞.
Si α < x < β, alors 1 < a x < β et g(x) < 0. La suite {a n } est donc bornée
et décroissante. Elle converge vers α.
153
On considère maintenant le cas où
e a 1
a 2
= e. On a alors a 2 = e a 1 −1 a 1
et, par récurrence, a n+1 a n . De plus, si a 1 1, on peut aussi montrer par
récurrence que a n 1. Donc, dans un tel cas, lim
n→+∞
a n = 1. Si a 1 > 1, {a n }
est alors croissante et diverge vers +∞.
On considère enfin le cas où
e a 1
a 2
> e. L’équation (∗) admet deux solutions
que l’on note g 1 et g 2 , en prenant g 1 < g 2 . Supposons que a 1 < g 1 . On a alors
e
a 1 −
e a 1
a 2
a 1 > 0
ou, dit autrement, a 2 > a 1 . Il s’ensuit, par récurrence, que {a n } est croissante
et majorée par g 1 qui est sa limite. Si g 1 < a 1 < g 2 , alors {a n } est décroissante
et minorée par g 1 qui est aussi sa limite. Si a 1 = g 1 ou a 1 = g 2 , la suite est
alors constante. Finalement, si a 1 > g 2 , la suite croît vers +∞.
II.5.40. (Ce problème et sa solution sont dus à L. Euler dans un cas plus général. Voir aussi [13].) On montre, en dérivant, que ln x
x
e pour x > 0. Donc,
an
e ln a n = a n−1 ln a (n > 1) et, en conséquence, a n a n−1 ln a e . Si a > e
1
e ,
la suite {a n } est donc croissante. On montre que, dans ce cas, lim
n→+∞
a n = +∞.
On a a n+1 − a n = a an − a n . On considère donc, pour a > e
1
e , la fonction
g(x) = a x −x. Cette fonction atteint son minimum en x 0 = −
ln(ln a)
ln a < e. Il s’ensuit que a x − x >
1+ln(ln a)
ln a
> 0 et, en conséquence, a n+1 − a n >
1+ln(ln a)
ln a
> 0.
La différence entre deux termes consécutifs étant supérieure à un nombre strictement positif donné, la suite diverge vers +∞.
On considère maintenant le cas où 1 < a < e
1
e . On montre d’abord que,
dans ce cas, l’équation a x −x = 0 admet deux solutions positives. La dérivée de
la fonction g(x) = a x −x s’annule au point x 0 > 0 tel que a x 0 =
1
ln a . La fonction
g atteint sa valeur minimale en x 0 et g(x 0 ) = a x 0 −x 0 =
1
ln a −x 0 =
1−x 0 ln a
ln a
< 0
car, si 1 < a < e
1
e , alors
1
ln a > e. La fonction g étant continue sur R,
elle vérifie la propriété des valeurs intermédiaires. L’équation a x = x admet
donc une racine dans l’intervalle ]0 , x 0 [ et une autre racine dans l’intervalle
]x 0 , +∞[. On note ces racines respectivement α et β et on remarque que
g(e) = a e − e <
e
1
e
e − e = 0 ce qui implique que le nombre e se trouve
entre α et β.
Si x > β, alors a x > a β = β et g(x) > 0. Dans ce cas, la suite {a n } est
croissante et minorée par β donc lim
n→+∞
a n = +∞.
Si α < x < β, alors 1 < a x < β et g(x) < 0. La suite {a n } est donc bornée
et décroissante. Elle converge vers α.
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