Chapitre II. Suites de nombres réels
II.5.36. On définit la suite {b n } en posant b n = aa n . On a alors
b n+1 = b n (2 − b n ) = − (b n − 1)
2
+ 1.
Donc, b n+1 −1 = − (b n − 1)
2 . Clairement, la suite {a n } converge si et seulement
si {b n − 1} converge aussi ou, dit autrement, lorsque |b 1 − 1| = |aa 1 − 1| 1.
De plus, si a 1 =
2
a , alors lim
n→+∞
a n = 0 et si 0 < aa 1 < 2, alors lim
n→+∞
a n =
1
a .
II.5.37. Le résultat s’obtient comme cas particulier du problème II.5.38.
II.5.38. On peut montrer que la fonction f est continue en (a, a, . . . , a) et
f (a, a, . . . , a) = a. On définit la suite {b n } en posant
b 1 = b 2 = . . . = b k = min {a 1 , a 2 , . . . , a k } ,
b n = f (b n−1 , b n−2 , . . . , b n−k ) pour n > k.
On note que {b n } est strictement croissante et majorée par a si
min {a 1 , a 2 , . . . , a k } < a. De même, si min {a 1 , a 2 , . . . , a k } > a, alors {b n }
est strictement décroissante et minorée par a. Dans les deux cas, la suite est
convergente et lim
n→+∞
b n = a. De plus, la monotonie de f par rapport à chacune
de ses variables implique a n b n pour n ∈ N ∗ . On définit alors la suite {c n }
en posant
c 1 = c 2 = . . . = c k = max {a 1 , a 2 , . . . , a k } ,
c n = f (c n−1 , c n−2 , . . . , c n−k ) pour n > k.
Comme précédemment, on montre que lim
n→+∞
c n = a et c n a n pour n ∈ N ∗ .
Finalement, d’après le théorème des gendarmes, lim
n→+∞
a n = a.
II.5.39. On a a 3 = a 2 e a 2 −a 1 , a 4 = a 3 e a 3 −a 2 = a 2 e a 3 −a 1 et, par récurrence,
a n+1 = a 2 e an−a 1 pour n 2. Supposons que g soit la limite de la suite. On a
alors
e a 1
a 2
g = e
g
(∗)
Si
e a 1
a 2
= e, l’équation (∗) admet alors une unique solution g = 1. Si
e a 1
a 2
> e,
cette équation admet deux solutions et si 0 <
e a 1
a 2
< e, elle n’a pas de solution.
On considère d’abord le cas où 0 <
e a 1
a 2
< e. La suite {a n } diverge car dans ce
cas, (∗) n’a pas de solution. On montre de plus que la suite {a n } est croissante
et diverge donc vers +∞.
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II.5.36. On définit la suite {b n } en posant b n = aa n . On a alors
b n+1 = b n (2 − b n ) = − (b n − 1)
2
+ 1.
Donc, b n+1 −1 = − (b n − 1)
2 . Clairement, la suite {a n } converge si et seulement
si {b n − 1} converge aussi ou, dit autrement, lorsque |b 1 − 1| = |aa 1 − 1| 1.
De plus, si a 1 =
2
a , alors lim
n→+∞
a n = 0 et si 0 < aa 1 < 2, alors lim
n→+∞
a n =
1
a .
II.5.37. Le résultat s’obtient comme cas particulier du problème II.5.38.
II.5.38. On peut montrer que la fonction f est continue en (a, a, . . . , a) et
f (a, a, . . . , a) = a. On définit la suite {b n } en posant
b 1 = b 2 = . . . = b k = min {a 1 , a 2 , . . . , a k } ,
b n = f (b n−1 , b n−2 , . . . , b n−k ) pour n > k.
On note que {b n } est strictement croissante et majorée par a si
min {a 1 , a 2 , . . . , a k } < a. De même, si min {a 1 , a 2 , . . . , a k } > a, alors {b n }
est strictement décroissante et minorée par a. Dans les deux cas, la suite est
convergente et lim
n→+∞
b n = a. De plus, la monotonie de f par rapport à chacune
de ses variables implique a n b n pour n ∈ N ∗ . On définit alors la suite {c n }
en posant
c 1 = c 2 = . . . = c k = max {a 1 , a 2 , . . . , a k } ,
c n = f (c n−1 , c n−2 , . . . , c n−k ) pour n > k.
Comme précédemment, on montre que lim
n→+∞
c n = a et c n a n pour n ∈ N ∗ .
Finalement, d’après le théorème des gendarmes, lim
n→+∞
a n = a.
II.5.39. On a a 3 = a 2 e a 2 −a 1 , a 4 = a 3 e a 3 −a 2 = a 2 e a 3 −a 1 et, par récurrence,
a n+1 = a 2 e an−a 1 pour n 2. Supposons que g soit la limite de la suite. On a
alors
e a 1
a 2
g = e
g
(∗)
Si
e a 1
a 2
= e, l’équation (∗) admet alors une unique solution g = 1. Si
e a 1
a 2
> e,
cette équation admet deux solutions et si 0 <
e a 1
a 2
< e, elle n’a pas de solution.
On considère d’abord le cas où 0 <
e a 1
a 2
< e. La suite {a n } diverge car dans ce
cas, (∗) n’a pas de solution. On montre de plus que la suite {a n } est croissante
et diverge donc vers +∞.
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