Chapitre II. Suites de nombres réels
et, de nouveau avec le théorème de Stolz,
lim
n→+∞
na n
a 1 + a 2 + . . . + a n
= lim
n→+∞
(n + 1)a n+1 − na n
a n+1
= lim
n→+∞
n + 1 − n
a n
a n+1
= 1
la dernière égalité se déduisant de (∗). On a en effet
1 n + 1 − n
a n
a n+1
1 +
n+1
nan
1 +
1
nan
et, puisque lim
n→+∞
a n = +∞,
lim
n→+∞
1 +
n+1
nan
1 +
1
nan
= 1.
II.5.24. On a l’inégalité Arctan x < x pour x > 0 et la suite est donc décroissante. Elle est de plus minorée par 0, donc convergente vers une limite g
vérifiant l’équation g = Arctan g. D’où, g = 0.
II.5.25. On remarque que tous les termes de la suite {a n } appartiennent
à l’intervalle ]0 , 1[. On note x 0 l’unique racine de l’équation x = cos x. Si
x x 0 , alors cos(cos x) < x. La fonction f (x) = cos(cos x) − x est décroissante car f (x) = sin x sin(cos x) − 1 < 0 pour x ∈ R. Donc, pour x > x 0 ,
cos(cos x) − x < f(x 0 ) = 0. De même, si x < x 0 , alors cos(cos x) > x.
Supposons d’abord que a 1 > x 0 . Ce qui précède implique a 3 =
cos(cos a 1 ) < a 1 . Puisque la fonction y = cos(cos x) est croissante sur
0 ,
π
2
,
on a a 5 < a 3 et on montre par récurrence que la suite {a 2n−1 } est décroissante.
D’autre part, a 2 = cos a 1 < cos x 0 = x 0 , ce qui implique a 4 = cos(cos a 2 ) > a 2
et donc que {a 2n } est croissante.
On peut appliquer des arguments semblables dans le cas où 0 < a 1 < x 0 .
Si a 1 = x 0 , tous les termes de la suite {a n } sont alors égaux à x 0 . Dans tous
les cas, les suites {a 2n−1 } et {a 2n } tendent toutes les deux vers l’unique racine
de l’équation cos(cos x) = x et on voit facilement que cette racine est x 0 .
II.5.26. On obtient, par récurrence,
a n = 1 − (−1)
n−1
sin(sin(. . . sin 1) . . . )
(n − 1) fois
,
n>1.
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