Solutions
En utilisant le théorème de Stolz (voir II.3.11), on obtient
lim
n→+∞
n(1 − na n )
ln n
= lim
n→+∞
n
1
a n+1
−
1
an − 1
n ln
1 +
1
n
= lim
n→+∞
n
1
1−an − 1
ln
1 +
1
n
n
= lim
n→+∞
na n
1 − a n
= 1.
II.5.22. On voit facilement que la suite {a n } est décroissante et tend vers 0.
De plus, une application de la règle de l’Hospital donne
lim
x→0
x 2 − sin
2 x
x 2 sin
2 x
=
1
3
.
Donc,
lim
n→+∞
1
a 2
n+1
−
1
a 2
n
=
1
3
.
On a alors, d’après le résultat du problème II.3.14, lim
n→+∞
na 2
n = 3.
II.5.23. Clairement, la suite est croissante. On va montrer qu’elle diverge
vers +∞. On a
a
2
n+1 =
a n +
1
a 1 + . . . + a n
2
>
a n +
1
na n
2
> a
2
n +
2
n
et
a
2
2n − a
2
n >
2
2n − 1
+
2
2n − 2
+ . . . +
2
n
>
2n
2n − 1
> 1.
La suite {a 2
n } n’est donc pas une suite de Cauchy et, étant croissante, elle
diverge vers +∞. De plus,
1
a n+1
a n
1 +
1
na n
.
(∗)
D’après le théorème de Stolz (voir II.3.11), on a
lim
n→+∞
a 2
n
2 ln n
= lim
n→+∞
n
a 2
n+1 − a 2
n
2 ln
1 +
1
n
n = lim
n→+∞
n
2
a
2
n+1 − a
2
n
= lim
n→+∞
n
2
2a n
a 1 + a 2 + . . . + a n
+
1
(a 1 + a 2 + . . . + a n ) 2
= 1,
car
0 <
n
(a 1 + a 2 + . . . + a n )
2 <
1
n
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