Solutions
II.5.16. Comme dans la solution de II.5.14, a n+1 − a n = −
1
2n (a n − a n−1 ).
Donc, lim
n→+∞
a n = 2b − a − 2(b − a)e −1/2 .
II.5.17.
(a) On a
a n = 3 −
n
k=1
1
k
−
1
k + 1
1
(k + 1)!
= 3
n
k=1
k + 1 − k
k(k + 1)!
+
n
k=1
1
(k + 1)(k + 1)!
= 3 −
n
k=1
1
kk!
+
n
k=1
1
(k + 1)!
+
n
k=1
1
(k + 1)(k + 1)!
=
n+1
k=0
1
k!
+
1
(n + 1)(n + 1)!
.
Donc, d’après II.5.6, lim
n→+∞
a n = e.
(b) D’après (a) et II.5.6, on a
0 < a n − e <
1
(n + 1)(n + 1)!
.
Remarque. On notera ici que cette suite converge plus vite vers e que la suite
considérée au problème II.5.6.
II.5.18. Il découle de II.5.6 que e = 1+
1
1! + . . . +
1
n! + r n , où lim
n→+∞
n!r n = 0.
De plus,
1
n + 1
< n!r n <
1
n
.
(1)
Donc,
lim
n→+∞
n sin(2πn!e) = lim
n→+∞
n sin(2πn!r n )
= lim
n→+∞
n2πn!r n
sin(2πn!r n )
2πn!r n
= lim
n→+∞
n2πn!r n = 2π,
la dernière égalité se déduisant de (1).
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