Chapitre II. Suites de nombres réels
II.5.11. D’après II.5.6, on a
e = 1 +
1
1!
+ . . . +
1
n!
+
θ n
nn!
, où 0 < θ n < 1.
Donc, 0 < n!e − [n!e] =
θn
n <
1
n , ce qui prouve la proposition.
II.5.12. D’après l’inégalité entre les moyennes arithmétique et géométrique,
la monotonie de la fonction logarithme et l’inégalité prouvée en II.5.3, on a
1
n
ln
√
ab ln
1
2
n
√
a +
n
√
b
= ln
1
2
n
√
a − 1
+
1
2
n
√
b − 1
+ 1
<
1
2
n
√
a − 1
+
n
√
b − 1
.
Pour obtenir le résultat demandé, il suffit de multiplier ces inégalités par n et
d’appliquer le résultat donné en II.5.4 (a).
II.5.13. On note d’abord que si lim
n→+∞
a n
n = a > 0, alors lim
n→+∞
a n = 1. On
suppose maintenant que {a n } et {b n } sont deux suites dont les termes sont
différents de 1. D’après II.5.5,
lim
n→+∞
n ln a n
n(a n − 1)
= 1.
(∗)
L’hypothèse lim
n→+∞
a n
n = a > 0 et la continuité de la fonction logarithme impliquent lim
n→+∞
n ln a n = ln a. Donc, d’après (∗),
lim
n→+∞
n(a n − 1) = lim
n→+∞
n ln a n = ln a.
On remarque que ces égalités restent correctes si a n = 1. Enfin,
lim
n→+∞
n ln(pa n + qb n ) = lim
n→+∞
n (p(a n − 1) + q(b n − 1)) = ln a
p b
q .
II.5.14. On a a n+1 − a n = −
1
n (a n − a n−1 ). En conséquence,
a n = a + (b − a) + . . . + (a n − a n−1 )
= a + (b − a)
1 −
1
2!
+
1
3!
− . . . + (−1)
n−2
1
(n − 1)!
.
Donc, d’après II.5.7, lim
n→+∞
a n = b − (b − a)e −1 .
II.5.15. On considère la suite {b n } définie par b n =
an
n! et on applique la
même méthode que dans la solution du problème précédent pour conclure que
a n = n!.
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