Solutions
On a de plus
x 1 = sin(cos x 1 ) < cos x 1 , x 2 = cos(sin x 2 ) > cos x 2 ,
donc x 1 < x 2 .
II.5.10. On suppose, contrairement à l’énoncé, qu’il existe x 1 ∈ ]a , b] tel que
f (x 1 ) = 0. La continuité de f implique alors que f (x) = 0 dans un voisinage
]α , β[ de x 1 . Supposons, par exemple, que f (x) > 0 pour x ∈ ]α , β[, f (α) = 0,
α a et f (β) > 0. D’après le théorème des accroissements finis,
|ln f (β) − ln f (α + ε)| =
f (θ)
f (θ)
(β − α − ε) C(β − α − ε)
pour 0 < ε < β − α. En faisant tendre ε vers 0 + , on obtient +∞ C(β − α),
contradiction.
II.5.11. Soit 0 < p < q et x > 0. Le théorème des accroissements finis donne
ln
1 +
x
q
x
q
=
1
1 + ζ 0
>
1
1 + ζ 1
=
ln
1 +
x
p
− ln
1 +
x
q
x
p −
x
q
,
où ζ 0 ∈
0 ,
x
q
et ζ 1 ∈
x
q ,
x
p
. D’où,
x
p
ln
1 +
x
q
>
x
q
ln
1 +
x
p
ou, dit autrement,
q ln
1 +
x
q
> p ln
1 +
x
p
.
II.5.12. L’inégalité e x 1 + x (x ∈ R) se déduit, par exemple, du théorème
des accroissements finis. On a en effet
e x − 1
x
= e
ζ > 1 pour x > 0
et
e x − 1
x
= e
ζ < 1 pour x < 0.
On obtient l’égalité si x = 0.
Soit
A n =
1
n
n
k=1
a k et G n =
n
n
k=1
a k
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