Chapitre II. Dérivation
II.5.6. Non. Considérez, par exemple, la fonction f (x) = cos x (x > 0).
II.5.7.
(a) On pose g(x) = f (x) − e −x pour x 0. On a g(0) = 0, g(x) 0 et
lim
x→+∞
g(x) = 0. Si g(x) ≡ 0, alors f (x) = −e −x pour x ∈ R ∗
+ . On
suppose donc qu’il existe a > 0 tel que g(a) < 0. Pour x suffisamment
grand, mettons x > M, on a alors g(x) >
1
2 g(a). La fonction g atteint
donc un minimum en un point x 0 ∈ ]0 , M[ et g (x 0 ) = 0.
(b) Appliquez le même raisonnement qu’en (a).
II.5.8. On a
f (x)
g(x)
=
g (x)
g(x)
f (x)
g (x)
−
f (x) − f (0)
g(x) − g(0)
.
D’après le théorème des accroissements finis généralisé,
f (x)
g(x)
=
g (x)
g(x)
f (x)
g (x)
−
f (θ)
g (θ)
,
où 0 < θ < x a. La fonction f /g étant croissante, on voit que
f (x)
g(x)
> 0 pour x > 0.
II.5.9. On pose f (x) = sin(cos x) − x. On a f (0) = sin 1 et f (π/2) = −π/2.
La propriété des valeurs intermédiaires implique qu’il existe x 1 ∈ ]0 , π/2[
tel que f (x 1 ) = 0. Puisque f (x) < 0 sur ]0 , π/2[, f n’admet pas d’autres
zéros dans cet intervalle. On montre de la même manière que l’équation
cos(sin x) = x admet une unique racine x 2 dans ]0 , π/2[.
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