Chapitre II. Dérivation
II.4.22. L’inégalité est évidente pour p = 1. Pour p > 1, on définit q de sorte
que
1
p +
1
q = 1, soit q =
p
p−1 . On a
n
i=1
|x i + y i |
p =
n
i=1
|x i + y i | |x i + y i |
p−1
n
i=1
|x i | |x i + y i |
p−1 +
n
i=1
|y i | |x i + y i |
p−1
n
i=1
|x i |
p
1
p
n
i=1
|x i + y i |
(p−1)q
1
q
+
n
i=1
|y i |
p
1
p
n
i=1
|x i + y i |
(p−1)q
1
q
=
⎛
⎝
n
i=1
|x i |
p
1
p
+
n
i=1
|y i |
p
1
p
⎞
⎠
n
i=1
|x i + y i |
p
1
q
.
D’où,
n
i=1
|x i + y i |
p
1
p
n
i=1
|x i |
p
1
p
+
n
i=1
|y i |
p
1
p
.
II.4.23. D’après l’inégalité de Hölder, on a
N
n=1
|a n |
n
4
5
N
n=1
a
4
n
1
4
N
n=1
1
n
16
15
3
4
.
II.4.24. On pose s 1 = x 1 + x 2 + . . . + x n , s 2 = y 1 + y 2 + . . . + y n et
S = (s
p
1 + s
p
2 )
1
p . On a alors
S
p = s
p
1 +s
p
2 =
x 1 s
p−1
1
+ y 1 s
p−1
2
+
x 2 s
p−1
1
+ y 2 s
p−1
2
+. . .+
x n s
p−1
1
+ y n s
p−1
2
.
L’inégalité de Hölder donne
S
p
(x
p
1 + y
p
1 )
1
p (s
p
1 + s
p
2 )
1
q + (x
p
2 + y
p
2 )
1
p (s
p
1 + s
p
2 )
1
q
+ . . . + (x
p
n + y
p
n )
1
p (s
p
1 + s
p
2 )
1
q
= S
p
q
(x
p
1 + y
p
1 )
1
p + (x
p
2 + y
p
2 )
1
p + . . . + (x
p
n + y
p
n )
1
p
,
ce qui implique l’inégalité cherchée.
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