Chapitre II. Dérivation
Ceci signifie que la fonction x →
f (x)−f (x 1 )
x−x 1
est croissante et minorée sur ]x 1 , b[.
La dérivée à droite f
+ (x 1 ) existe donc bien et
f
+ (x 1 )
f (x 2 ) − f (x 1 )
x 2 − x 1
.
(∗∗)
On note maintenant que pour x 1 < x 2 < t < b, on a
f (x 2 ) − f (x 1 )
x 2 − x 1
f (t) − f (x 2 )
t − x 2
,
ce qui donne
f (x 2 ) − f (x 1 )
x 2 − x 1
f
+ (x 2 ).
Ceci, combiné à (∗∗), montre que f
+ (x 1 ) f
+ (x 2 ). On peut appliquer le même
raisonnement pour prouver que la dérivée à gauche existe et est croissante sur
]a , b[. De plus, (∗) implique f
− (x 1 ) f
+ (x 1 ) pour x 1 ∈ ]a , b[. On rappelle
que, d’après (2) dans la solution de II.4.1, si x 1 < x < x 2 , alors
f (x) − f (x 1 )
x − x 1
f (x 2 ) − f (x)
x 2 − x
.
Ceci implique
f
+ (x 1 ) f
− (x 2 ).
Pour résumer, on a obtenu
f
− (x 1 ) f
+ (x 1 ) f
− (x 2 ) f
+ (x 2 ) pour x 1 < x 2 .
Ceci montre que si une dérivée à gauche ou à droite est continue en un point
de ]a , b[, les deux sont alors égales en ce point. Une fonction monotone n’ayant
qu’un ensemble dénombrable de discontinuités (voir I.2.29), les dérivées à
gauche ou à droite sont donc égales sauf sur un ensemble dénombrable.
On a aussi une proposition semblable pour les fonctions concaves.
II.4.20. Puisque f est strictement croissante, la fonction réciproque (f ) −1
existe et
ξ(x) = (f
)
−1
f (b + x) − f (a − x)
b − a + 2x
.
Il s’ensuit que ξ est dérivable sur R ∗
+ . On obtient, en dérivant l’égalité donnée
dans le problème,
f (b + x) + f (a − x) − 2f (ξ)
b − a + 2x
= f
(ξ)ξ
(x).
(∗)
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