Chapitre II. Dérivation
Par définition de la limite, si ε 1 > 0, alors
(1 − x)
f
(x)
ε 1 +
1
2
ε
f
(x + θε(1 − x))
(1 − x)
2
ε 1 +
1
2
Mε
(θε − 1)
2
pour x suffisamment proche de 1. Puisque l’on peut choisir arbitrairement
ε > 0, on a (1 − x) |f (x)| ε 1 , ce qui signifie que lim
x→1 −
(1 − x)f (x) = 0.
II.3.24. On a
f
a + b
2
= f (a) +
f (x 1 )
2!
b − a
2
2
et
f
a + b
2
= f (b) +
f (x 2 )
2!
b − a
2
2
pour un x 1 ∈
a ,
a+b
2
et un x 2 ∈
a+b
2 , b
. Donc,
|f (b) − f (a)| =
a − b
2
2 1
2
f
(x 2 ) − f
(x 1 )
b − a
2
2
f
(c)
,
où |f (c)| = max {|f (x 1 )| , |f (x 2 )|}.
II.3.25. La formule de Taylor implique
1 = f (1) =
1
2
f
(0) +
f (x 1 )
3!
et 0 = f (−1) =
1
2
f
(0) +
f (x 2 )
3!
pour un x 1 ∈ ]0 , 1[ et un x 2 ∈ ]−1 , 0[. Donc,
f
(x 1 ) + f
(x 2 ) = 6,
ce qui implique f (x 1 ) 3 ou f (x 2 ) 3.
On peut noter que l’égalité est atteinte, par exemple, pour f (x) =
1
2
x 3 + x 2
.
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