Solutions
II.3.21. On suppose que |f (x)| M (M > 0) pour x ∈ R ∗
+ . D’après la
formule de Taylor, on a
f (x + h) = f (x) + f
(x)h + f
(x + θh)
h 2
2
pour x, h ∈ R ∗
+ . Il s’ensuit que
f
(x)
|f (x + h) − f (x)|
h
+
Mh
2
.
Puisque lim
x→+∞
f (x) = 0, étant donné ε > 0, il existe x 0 tel que
f
(x)
ε
h
+
Mh
2
pour x > x 0 , h > 0.
En prenant h =
2
ε
M , on obtient |f (x)|
√
2εM pour x > x 0 , ce qui signifie
que lim
x→+∞
f (x) = 0.
II.3.22. Pour x > 0, on a
f (x + 1) = f (x) + f
(x) +
1
2
f
(ξ)
pour un ξ ∈ ]x , x + 1[. Donc,
xf
(x) =
x
x + 1
(x + 1) f (x + 1) − xf (x) −
1
2
·
x
ξ
· ξf
(ξ)
et lim
x→+∞
xf (x) = 0.
II.3.23. La formule de Taylor donne, pour u, x ∈ ]0 , 1[, u > x,
f (u) = f (x) + f
(x)(u − x) +
1
2
f
(ξ) (u − x)
2
pour un ξ ∈ ]x , u[. En prenant u = x + ε(1 − x), 0 < ε <
1
2 , on obtient
f (u) − f (x) = ε(1 − x)f
(x) +
1
2
ε
2 f
(x + θε(1 − x)) (1 − x)
2
pour un θ ∈ ]0 , 1[. En faisant tendre x vers 1 − , on voit que
0 = lim
x→1 −
(1 − x)f
(x) +
1
2
εf
(x + θε(1 − x)) (1 − x)
2
.
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