Solutions
ce qui donne
|f (x)| < |f (a)| e
a−x + ε
1 − e
a−x
.
En conséquence, |f (x)| < 2ε pour x suffisamment grand.
(b) Appliquez le théorème des accroissements finis généralisé à x → e
√
x f (x)
et x → e
√
x et procédez comme en (a).
II.2.33. Les hypothèses impliquent que la fonction x → e −x f (x) admet au
moins trois zéros distincts dans [a , b] et, d’après le théorème de Rolle, sa dérivée x → e −x (f (x) − f (x)) admet au moins deux zéros distincts dans cet
intervalle. Ceci implique alors que la dérivée seconde admet au moins un zéro,
ce qui signifie que l’équation e −x (f (x) + f (x) − 2f (x)) = 0 a au moins une
racine dans [a , b].
II.2.34. On observe d’abord que Q(x) = F (x)G(x), où
F (x) = P
(x) + xP (x) = e
−
x 2
2
e
x 2
2 P (x)
,
G(x) = xP
(x) + P (x) = (xP (x))
.
Soit 1 < a 1 < a 2 < . . . < a n les racines du polynôme P . D’après le théorème
de Rolle, F a au moins n − 1 zéros que l’on note b i (i = 1, 2, . . . , n − 1) et G a
n racines que l’on note c i (i = 1, 2, . . . , n). On peut supposer que
1 < a 1 < b 1 < a 2 < b 2 < . . . < b n−1 < a n ,
0 < c 1 < a 1 < c 2 < a 2 < . . . < c n < a n .
Si b i = c i+1 pour i = 1, 2, . . . , n − 1, le polynôme Q admet au moins 2n − 1
racines. On suppose maintenant qu’il existe i tel que b i = c i+1 = r. On a alors
P (r) + rP (r) = 0 = rP (r) + P (r) et
r 2 − 1
P (r) = 0. Puisque r > 1, cela
donne P (r) = 0, contradiction.
II.2.35. Soit x 1 < x 2 < . . . < x m les racines de P . Les hypothèses impliquent P (x m ) > 0, P (x m−1 ) < 0 et P (x m−2 ) > 0, . . .. On voit de plus que
Q(x m ) < 0, Q(x m−1 ) > 0, . . .. Si m est impair, alors Q(x 1 ) < 0. Si m est pair,
alors Q(x 1 ) > 0. Donc, d’après le théorème de Rolle, Q a au moins m + 1
racines réelles lorsque m est impair et au moins m racines réelles lorsque m est
pair. On montre maintenant que tous les racines réelles de Q sont distinctes.
Puisque toutes les racines de P sont réelles et distinctes, (P (x))
2 > P (x)P (x)
pour x ∈ R. En effet, puisque
P (x) = a m (x − x 1 )(x − x 2 ) · · · (x − x m ),
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ce qui donne
|f (x)| < |f (a)| e
a−x + ε
1 − e
a−x
.
En conséquence, |f (x)| < 2ε pour x suffisamment grand.
(b) Appliquez le théorème des accroissements finis généralisé à x → e
√
x f (x)
et x → e
√
x et procédez comme en (a).
II.2.33. Les hypothèses impliquent que la fonction x → e −x f (x) admet au
moins trois zéros distincts dans [a , b] et, d’après le théorème de Rolle, sa dérivée x → e −x (f (x) − f (x)) admet au moins deux zéros distincts dans cet
intervalle. Ceci implique alors que la dérivée seconde admet au moins un zéro,
ce qui signifie que l’équation e −x (f (x) + f (x) − 2f (x)) = 0 a au moins une
racine dans [a , b].
II.2.34. On observe d’abord que Q(x) = F (x)G(x), où
F (x) = P
(x) + xP (x) = e
−
x 2
2
e
x 2
2 P (x)
,
G(x) = xP
(x) + P (x) = (xP (x))
.
Soit 1 < a 1 < a 2 < . . . < a n les racines du polynôme P . D’après le théorème
de Rolle, F a au moins n − 1 zéros que l’on note b i (i = 1, 2, . . . , n − 1) et G a
n racines que l’on note c i (i = 1, 2, . . . , n). On peut supposer que
1 < a 1 < b 1 < a 2 < b 2 < . . . < b n−1 < a n ,
0 < c 1 < a 1 < c 2 < a 2 < . . . < c n < a n .
Si b i = c i+1 pour i = 1, 2, . . . , n − 1, le polynôme Q admet au moins 2n − 1
racines. On suppose maintenant qu’il existe i tel que b i = c i+1 = r. On a alors
P (r) + rP (r) = 0 = rP (r) + P (r) et
r 2 − 1
P (r) = 0. Puisque r > 1, cela
donne P (r) = 0, contradiction.
II.2.35. Soit x 1 < x 2 < . . . < x m les racines de P . Les hypothèses impliquent P (x m ) > 0, P (x m−1 ) < 0 et P (x m−2 ) > 0, . . .. On voit de plus que
Q(x m ) < 0, Q(x m−1 ) > 0, . . .. Si m est impair, alors Q(x 1 ) < 0. Si m est pair,
alors Q(x 1 ) > 0. Donc, d’après le théorème de Rolle, Q a au moins m + 1
racines réelles lorsque m est impair et au moins m racines réelles lorsque m est
pair. On montre maintenant que tous les racines réelles de Q sont distinctes.
Puisque toutes les racines de P sont réelles et distinctes, (P (x))
2 > P (x)P (x)
pour x ∈ R. En effet, puisque
P (x) = a m (x − x 1 )(x − x 2 ) · · · (x − x m ),
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