Chapitre II. Dérivation
où x < ζ < 2x. D’où,
f (2x)
2x
−
f (x)
x
=
ζ
2x
f
(ζ) −
f (ζ)
ζ
.
Ceci implique
0
f
(ζ)
2
f (2x)
2x
−
f (x)
x
+
f (ζ)
ζ
.
On obtient le résultat cherché par passage à la limite lorsque x tend vers +∞.
II.2.29. Le résultat est une conséquence immédiate de I.6.30.
II.2.30. Par hypothèse,
f
(px + qy) = f
(qx + py) pour x = y.
(∗)
Si p = q, f est alors une fonction constante. En effet, si f (x 1 ) = f (x 2 ), en
prenant alors
x =
p
2p − 1
x 1 +
p − 1
2p − 1
x 2 et y =
p − 1
2p − 1
x 1 +
p
2p − 1
x 2 ,
on a x 1 = px + (1 − p)y et x 2 = py + (1 − p)x, ce qui contredit (∗). On a donc
prouvé que f est une fonction affine si p = q. Si p = q =
1
2 , d’après le résultat
du problème précédent, f est un polynôme du second degré.
II.2.31. On suppose, par exemple, que f (a) < f (b) pour [a , b] ⊂ I. Soit
λ un réel tel que f (a) < λ < f (b). On considère la fonction définie par
g(x) = f (x) − λx. On a g (a) < 0 et g (b) > 0, donc g atteint son minimum sur
[a , b] en un point x 0 de l’intervalle ouvert ]a , b[ et g (x 0 ) = 0 ou, dit autrement,
f (x 0 ) = λ.
II.2.32.
(a) Étant donné ε > 0, soit a > 0 tel que |f (x) + f (x)| < ε pour x a.
D’après le théorème des accroissements finis généralisé, il existe ζ ∈ ]a , x[
tel que
e x f (x) − e a f (a)
e x − e a
= f (ζ) + f
(ζ).
Donc,
f (x) − f (a)e
a−x
< ε
1 − e
a−x
,
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où x < ζ < 2x. D’où,
f (2x)
2x
−
f (x)
x
=
ζ
2x
f
(ζ) −
f (ζ)
ζ
.
Ceci implique
0
f
(ζ)
2
f (2x)
2x
−
f (x)
x
+
f (ζ)
ζ
.
On obtient le résultat cherché par passage à la limite lorsque x tend vers +∞.
II.2.29. Le résultat est une conséquence immédiate de I.6.30.
II.2.30. Par hypothèse,
f
(px + qy) = f
(qx + py) pour x = y.
(∗)
Si p = q, f est alors une fonction constante. En effet, si f (x 1 ) = f (x 2 ), en
prenant alors
x =
p
2p − 1
x 1 +
p − 1
2p − 1
x 2 et y =
p − 1
2p − 1
x 1 +
p
2p − 1
x 2 ,
on a x 1 = px + (1 − p)y et x 2 = py + (1 − p)x, ce qui contredit (∗). On a donc
prouvé que f est une fonction affine si p = q. Si p = q =
1
2 , d’après le résultat
du problème précédent, f est un polynôme du second degré.
II.2.31. On suppose, par exemple, que f (a) < f (b) pour [a , b] ⊂ I. Soit
λ un réel tel que f (a) < λ < f (b). On considère la fonction définie par
g(x) = f (x) − λx. On a g (a) < 0 et g (b) > 0, donc g atteint son minimum sur
[a , b] en un point x 0 de l’intervalle ouvert ]a , b[ et g (x 0 ) = 0 ou, dit autrement,
f (x 0 ) = λ.
II.2.32.
(a) Étant donné ε > 0, soit a > 0 tel que |f (x) + f (x)| < ε pour x a.
D’après le théorème des accroissements finis généralisé, il existe ζ ∈ ]a , x[
tel que
e x f (x) − e a f (a)
e x − e a
= f (ζ) + f
(ζ).
Donc,
f (x) − f (a)e
a−x
< ε
1 − e
a−x
,
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