Chapitre II. Dérivation
si L est une forme linéaire sur P. En effet, pour n 0,
+∞
k=0
L, x k
k!
A
k , x
n
=
+∞
k=0
L, x k
k!
A
k , x
n
= L, x
n
.
Puisque L et A k sont linéaires, on obtient
L, P (x) =
+∞
k=0
L, x k
k!
A
k , P (x)
pour tout polynôme P , ce qui prouve (1). Du fait que la valeur de A k en x n
est (x n )
(k)
|x=0 , il semble naturel de définir une opération sur A k en posant
A
k A
j = A
k+j .
En tenant compte de (1), on peut étendre cette opération en une opération
définie pour tous L, M : P −→ R comme suit :
LM =
+∞
k=0
L, x k
k!
A
k
+∞
j=0
M, x j
j!
A
j =
+∞
n=0
c n A
n ,
où
c n =
n
k=0
L, x k
k!
M, x n−k
(n − k)!
=
1
n!
n
k=0
n
k
L, x
k
M, x
n−k
.
Donc, d’après (1),
LM, x
n
=
n
k=0
n
k
L, x
k
M, x
n−k
.
(2)
On montre alors par récurrence que
L 1 · · · L j , x
n
=
n
k 1 ,...,k j =0
k 1 +...+k j =n
n!
k 1 ! · · · k j !
L 1 , x
k 1
L 2 , x
k 2
· · ·
L j , x
k j
. (3)
On définit la dérivée formelle L de L par
A
0
= 0,
A
k
= kA
k−1 pour k ∈ N
∗
et
L
=
+∞
k=1
L, x k
k!
kA
k−1 .
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