Solutions
De plus,
(−1)
n−1
x
n−2 f
1
x
(n)
= (−1)
n−1
x
n−2 f
1
x
(n−1)
.
L’hypothèse de récurrence appliquée à f en prenant k = n − 1 donne
1
x n f
(n)
1
x
= (−1)
n−1
x
n−2 f
1
x
(n−1)
.
Donc,
(−1)
n+1
x
n f
1
x
(n+1)
= −
n
x n+1 f
(n)
1
x
−
1
x n f
(n)
1
x
=
1
x n+2 f
(n+1)
1
x
.
II.1.38. La démonstration présentée ici de cette formule bien connue est basée sur l’article de S. Roman [Amer. Math. Monthly 87 (1980), 805-809]. Bien
que l’on applique des méthodes de l’analyse fonctionnelle, la démonstration
reste élémentaire. On considère des formes linéaires L : P −→ R définies sur
l’ensemble P des polynômes à coefficients réels et on note L, P (x) la valeur
de L en P (x). Soit A k une forme linéaire telle que
A
k , x
n
= n! δ n,k ,
où
δ n,k =
1 si n = k,
0 si n = k.
On remarque ici que la valeur de A k en x n est (x n )
(k)
|x=0 . On note
+∞
k=0
a k A k ,
a k ∈ R, la forme linéaire définie par
+∞
k=0
a k A
k , P (x)
=
+∞
k=0
a k
A
k , P (x)
.
Puisque
A k , P (x)
= 0 pour presque tout k, il n’y a qu’un nombre fini de
termes non nuls dans la somme se trouvant dans le second membre de cette
égalité. Le but est maintenant de prouver que
L =
+∞
k=0
L, x k
k!
A
k
(1)
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