Solutions
II.1.23. Soit ε > 0. Par définition de f
+ (x 0 ), on a
(f
+ (x 0 ) − ε)(x − x 0 ) f (x) − f (x 0 ) (f
+ (x 0 ) + ε)(x − x 0 )
(1)
pour x > x 0 suffisamment proche de x 0 . De même,
(f
− (x 0 ) − ε)(x − x 0 ) f (x) − f (x 0 ) (f
− (x 0 ) + ε)(x − x 0 )
(2)
pour x < x 0 suffisamment proche de x 0 . La continuité de f en x 0 est une
conséquence immédiate de (1) et (2).
II.1.24. Puisque f (c) = max {f (x) : x ∈ ]a , b[}, on a f (x) − f (c) 0 pour
x ∈ ]a , b[. Donc,
f
− (c) = lim
x→c −
f (x) − f (c)
x − c
0.
De même, f
+ (c) 0.
Si f (c 0 ) = min {f (x) : x ∈ ]a , b[}, on a alors f
+ (c 0 ) 0 et f
− (c 0 ) 0.
II.1.25. Clairement, la proposition est vraie si f est constante. On considère donc une fonction f non constante. On peut supposer, sans perte de
généralité, que f (a) = f (b) = 0. Il existe alors, par exemple, x 1 ∈ ]a , b[
tel que f (x 1 ) > 0. Soit k ∈ R tel que 0 = f (b) < k < f(x 1 ). On pose
c = sup {x ∈ ]x 1 , b[ : f (x) > k} et on a f (x) k pour x ∈ [c , b]. De plus, il
existe une suite {h n } à termes strictement négatifs, convergente vers 0 et telle
que f (c + h n ) > k. Puisque f
− existe,
f
− (c) = lim
n→+∞
f (c + h n ) − f (c)
h n
0.
On a donc prouvé que inf
f
− (x) : x ∈ ]a , b[
0. On prouve de la même
façon que sup
f
− (x) : x ∈ ]a , b[
0.
On remarque de plus que l’on a un résultat semblable pour f
+ , à savoir,
inf
f
+ (x) : x ∈ ]a , b[
0 sup
f
+ (x) : x ∈ ]a , b[
.
II.1.26. On applique le résultat du problème précédent à la fonction auxiliaire
x → f (x) −
f (b) − f (a)
b − a
(x − a)
pour prouver cette proposition.
On peut prouver une proposition semblable pour f
+ :
inf
f
+ (x) : x ∈ ]a , b[
f (b) − f (a)
b − a
sup
f
+ (x) : x ∈ ]a , b[
.
181