Chapitre II. Dérivation
Q étant un polynôme de degré au plus n − 1, il suffit de prouver que cette
égalité est vérifiée en n points distincts. Clairement, elle est vérifiée en x = x k ,
k = 1, 2, . . . , n.
En particulier, si Q(x) ≡ 1, alors
1 =
n
k=1
1
P (x k )
n
j=1
j =k
(x − x j ).
En regardant les coefficients des termes en x n−1 , on obtient
n
k=1
1
P (x k )
= 0 pour n 2.
II.1.18. Appliquez le résultat du problème précédent en prenant
(a) P (x) = x(x + 1)(x + 2) · · · (x + n) et Q(x) ≡ n!.
(b) P (x) = x(x + 2)(x + 4) · · · (x + 2n) et Q(x) ≡ n! 2 n .
II.1.19. Clairement, la dérivée de |f | existe en tout x tel que f (x) = 0. De
plus, si f (x) = 0 et f (x) = 0, alors |f |
(x) = 0.
II.1.20. Il existe un voisinage de x où aucune des fonctions f k ne change de
signe. Donc |f k | est dérivable en x et on a
n
k=1
|f k |
n
k=1
|f k |
(x) =
ln
n
k=1
|f k |
(x) =
n
k=1
|f k |
(x)
|f k (x)|
.
La démonstration se conclut en observant que |f k |
(x) = sgn(f k (x))f
k (x).
II.1.21. Appliquez le résultat du problème précédent en remplaçant f k
par
f k
g k
.
II.1.22.
(a) Clairement, f et |f | ne sont continues qu’en 0. De plus, f (0) = 1 et
|f |
(0) n’existe pas (comparez avec II.1.19).
(b) Les fonctions f et |f | ne sont continues qu’en x k =
3
2 k (k = 2, 3, . . .). On
vérifie facilement que f (x k ) = 1 et que |f |
(x k ) n’existe pas.
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