Solutions
I.6.14. Par hypothèse,
f (−1) = f
−
1
2
= f
−
1
3
= . . . = f (0).
De plus, pour t = 0, −1, −
1
2 , −
1
3 , . . . , on a
f (t) = f
t
t + 1
= f
t
2t + 1
= f
t
3t + 1
= . . .
Puisque lim
n→+∞
t
nt+1 = 0, la continuité de f en 0 implique f (t) = 0. Les seules
solutions de l’équation sont donc les fonctions constantes.
I.6.15. Non. Il existe en fait une infinité de telles fonctions. Pour a ∈ ]0 , 1[,
soit g une transformation continue et strictement décroissante de [0 , a] sur
[a , 1]. La fonction f définie par
f (x) =
g(x)
pour x ∈ [0 , a],
g −1 (x) pour x ∈ ]a , 1],
où g −1 est l’application réciproque de g, vérifie la propriété donnée.
I.6.16. On suppose, contrairement à la proposition, qu’il existe y 0 ∈ R tel
que |g(y 0 )| = a > 1. On pose M = sup {|f (x)| : x ∈ R}. Par définition de la
borne supérieure, il existe x 0 ∈ R tel que |f (x 0 )| >
M
a . Par hypothèse,
|f (x 0 + y 0 )| + |f (x 0 − y 0 )| |f (x 0 + y 0 ) + f (x 0 − y 0 )|
= 2 |f (x 0 )| |g(y 0 )| > 2
M
a
a = 2M.
Donc, |f (x 0 + y 0 )| > M ou |f (x 0 − y 0 )| > M, contradiction.
I.6.17. On note que g(x) = f (x)e −x vérifie l’équation fonctionnelle de
Cauchy. Il découle donc de I.6.1 que f (x) = axe x .
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