Chapitre I. Limites et continuité
En prenant x = α + t(β − α), on obtient
f (x) = f (α) +
f (β) − f (α)
β − α
(x − α) .
On remarque maintenant que les hypothèses du problème impliquent que f
admet une limite à droite en a et une limite à gauche en b. En effet, on a par
exemple
lim
y→b −
f (y)
2
= f
x + b
2
−
f (x)
2
pour x ∈ ]a , b[ .
Clairement,
]a , b[ =
+∞
n=1
[α n , β n ],
où {α n } est une suite décroissante de points de ]a , b[ convergente vers a et
{β n } est une suite croissante de points de cet intervalle convergente vers b.
Donc pour x ∈ ]a , b[, il existe n 0 ∈ N ∗ tel que x ∈ [α n , β n ] pour tout n n 0 .
Il s’ensuit que
f (x) = f (α n ) +
f (β n ) − f (α n )
β n − α n
(x − α n ) .
En faisant tendre n vers +∞, on obtient
f (x) = f (a
+ ) +
f (b − ) − f (a + )
b − a
(x − a) .
I.6.12. Pour x ∈ R, on pose
x 1 = x et x n+1 =
x n − 1
2
, n ∈ N
∗ .
On a lim
n→+∞
x n = −1 et f (x n ) = f (2x n+1 + 1) = f (x n+1 ), n ∈ N ∗ . Donc,
f (x) = f (x n ). On voit, en faisant tendre n vers +∞, que f (x) = f (−1).
Seules les fonctions constantes vérifient les hypothèses du problème.
I.6.13. On note que g(x) = f (x)−
a
2 x 2 est continue sur R et vérifie l’équation
fonctionnelle de Cauchy (voir I.6.1), donc g(x) = g(1)x, ce qui donne
f (x) −
a
2
x
2 =
f (1) −
a
2
x pour x ∈ R.
106